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Primitiva de una función

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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==Definición==
==Definición==
Línea 12: Línea 11:
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
</math>
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, &nbsp; definidas en un interval
+
, &nbsp; definidas en un intervalo
&nbsp;
&nbsp;
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Línea 28: Línea 27:
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; si la derivada de &nbsp;
+
&nbsp; en
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I
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si la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
<math>
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
Línea 42: Línea 45:
.
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
Línea 52: Línea 58:
&nbsp;
&nbsp;
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I \Leftrightarrow \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
+
I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right)
</math>
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Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.
Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.
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Consideremos la función:
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<math> f(x) = x^2 \, </math>.
+
===Ejemplo===
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Su derivada que denotaremos por <math>g(x) \,</math> es:
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<math> g(x) = f' (x) = 2 x \,</math>,
+
Consideremos la función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
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&nbsp; y denotemos por &nbsp;
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&nbsp; la derivada de &nbsp;
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\mathrm{f}
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, &nbsp; es decir:
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por lo que la primitiva de <math>g(x) \,</math> que denotaremos como <math>\int g(x)\, </math> es igual a:
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<math>\int g(x) = \int 2x = x^2 = f(x) \,</math>.
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\mathrm{g} \left( \,x \, \right) \, =
 +
\, \mathrm{f}^\prime \left( \,x \, \right) \, = \, 2 \cdot x
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</math>
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</center>
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Sin embargo, el resultado anterior es '''sólo''' parcialmente correcto. El problema es que la inversa de la derivada no es única. Si os dais cuenta, podemos sumar a <math>f(x)</math> una constante y su derivada no cambiará.
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Por lo tanto si:
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Entonces una primitiva de &nbsp;
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\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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<math>f'(x) = g(x)</math>,
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tenemos que
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==¿Cuantas primitivas puede tener una función?==
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<math>\int g(x) = f(x) + C</math>,
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donde <math>C</math> es una constante.
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Una función cualquiera admite infinitas primitivas, de hecho
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Dos funciones son primitivas de una misma función si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva.
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Es decir, si &nbsp;
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\mathrm{F}
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&nbsp; y &nbsp;
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&nbsp; son primitivas de &nbsp;
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, &nbsp; entonces existe un número real &nbsp;
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C
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, &nbsp; tal que
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G} \left( \, x \, \right)
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\, + \, C
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Reciprocamente, si a una primitiva de una función &nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; le añadimos una constante
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&nbsp;
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, &nbsp; entonces obtenemos otra primitiva de &nbsp;
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===Ejemplo===
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2
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&nbsp; y &nbsp;
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7
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&nbsp; son dos funciones primitivas de &nbsp;
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\mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x
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&nbsp; ya que
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\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
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\mathrm{G}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
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Observese que la diferencia &nbsp;
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es una constante ( = 7 ).
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[[Category: Matemáticas]]
[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición


Dadas dos funciones   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{F} \left( \, x \, \right) ,   definidas en un intervalo   </p> <pre>I = </pre> <p>\left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right] ,   diremos que   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es una función primitiva de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   en I si la derivada de   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   en el intervalo   I .


\mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es primitiva de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   en   I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) = </p> <pre>\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right) </pre> <p>


Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.


Ejemplo


Consideremos la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2   y denotemos por   \mathrm{g}   la derivada de   \mathrm{f} ,   es decir:


\mathrm{g} \left( \,x \, \right) \, = \, \mathrm{f}^\prime \left( \,x \, \right) \, = \, 2 \cdot x


Entonces una primitiva de   \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   es   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) .


¿Cuantas primitivas puede tener una función?


Una función cualquiera admite infinitas primitivas, de hecho 


Dos funciones son primitivas de una misma función si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva.


Es decir, si   \mathrm{F}   y   \mathrm{G}   son primitivas de   \mathrm{f} ,   entonces existe un número real   C ,   tal que


\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G} \left( \, x \, \right) </p> <pre>\, + \, C </pre> <p>


Reciprocamente, si a una primitiva de una función   \mathrm{f}   le añadimos una constante   C ,   entonces obtenemos otra primitiva de   \mathrm{f} .


Ejemplo


  \mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2   y   \mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7   son dos funciones primitivas de   \mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x ,   ya que


\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


Observese que la diferencia   \mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \, \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es una constante ( = 7 ).


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