Signo de la función

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:28 3 ago 2010

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Ejemplo
3 Signo de la función y su grafica
4 Procedimiento de análisis del signo

Introducción

En muchos casos, es interesante el conocer el signo que toma la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ dependiendo de los valores de $x$ .

Ejemplo

Supongamos que la variable dependiente $y$ son los beneficios de una compañia en un año cualquiera. Resulta que estos beneficios dependen de los ingresos de la compañia a lo largo del año y que representaremos por $\mathrm{x}$ .

Supongamos tambien que existe una función $\mathrm{f}$ que establece de manera precisa como depende $y$ de $x$ .

En este caso, a los propietarios y empleados de la compañia les interesar\'ia mucho saber para que valores de $x$ $y$ toma valores negativos ( perdidas ) y para que valores de $x$ $y$ toma valores positivos ( ganancias ).

Signo de la función y su grafica

Para encontrar los valores de $x$ para los cuales $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es positiva, podemos resolver la inecuación

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0$

y para encontrar los valores de $x$ para los cuales $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es negativa, podemos resolver la inecuación

$0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Si uno no tiene mucha habilidad para resolver inecuaciones, puede, alternativamente, utilizar el método que se describe mas abajo.

Procedimiento de análisis del signo

En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la grafica de la función $f$ con el eje X y lo puntos de discontinuidad de $\mathrm{f}$ .

Supongamos que las abcisas de los puntos de corte con el eje X y de los puntos de discontinuidad son, ordenadas de menor a mayor

$x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n$

Estas dividen a la recta real en $n + 1$ intervalos:

$\left( \, -\infty, \, x_1 \, \right), \, \left( \, x_1, \, x_2 \, \right), \, \left( \, x_2, \, x_3 \, \right), \, \ldots, \, \left( \, x_n, \, \infty \, \right)$

En cada uno de estos intervalos escogemos un $x^\prime$ y evaluamos $\mathrm{f}$ en el.

Si $\mathrm{f} \left( \, x^\prime \, \right)$ es positivo, entonces $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es positivo para todo $x$ en el intervalo donde hemos cogido $x^\prime$ .

Reciprocamente, si $0 > \mathrm{f} \left( \, x^\prime \, \right)$ , entonces $0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ para todo $x$ en el intervalo donde hemos cogido $x^\prime$ .

Finalmente, en cada uno de los puntos de discontinuidad donde este definida la función, evaluamos el signo de $f$ en dicho punto.

Con este ultimo paso terminariamos el estudio del signo y sabriamos para que valores de $x$ $\mathrm{f}$ es positiva y para que valores de $x$ $\mathrm{f}$ es negativa.

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