La divisibilidad en los polinomios

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Tabla de contenidos

1 Definición de polinomio DIVISIBLE por otro
- 1.1 Ejemplo
2 Definición de polinomio IRREDUCIBLE
- 2.1 Ejemplos de polinomios irreducibles
- 2.2 Ejemplo de descomposición de un polinomio en producto de polinomios irreducibles
3 Simplificación de fracciones algebraicas
- 3.1 Ejemplo

Definición de polinomio DIVISIBLE por otro

Un polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es divisible por otro polinomio $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ cuando existe otro polinomio $\mathrm{C} \left( \, x \, \right)$ tal que

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) \cdot \mathrm{C} \left( \, x \, \right)$

Los polinomios $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ y $\mathrm{C} \left( \, x \, \right)$ se llaman divisores de $\mathrm{P} \left( <pre> \, x \, </pre> \right)$ .

Ejemplo

$x^2 - 3x + 2 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)$

Por lo tanto el polinomio $x^2 - 3x + 2$ es divisible por los polinomios $x - 1$ y $x - 2$ , o dicho de otra manera, los polinomios $x - 1$ y $x - 2$ son divisores del polinomio $x^2 - 3x + 2$ .

Definición de polinomio IRREDUCIBLE

Un polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ de grado $n$ se dice que es irreducible cuando ningún polinomio de grado menor que $n$ y mayor que 0 es divisor de $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ .

Cualquier polinomio que no sea irreducible se puede descomponer en forma de producto de polinomios irreducibles.

Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.

Ejemplos de polinomios irreducibles

Los siguientes dos polinomios son irreducibles:

$\begin{array}{l} <pre>\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = x - 1 </pre> \\ \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = x^2 + x + 1 \end{array}$

Ejemplo de descomposición de un polinomio en producto de polinomios irreducibles

Una descomposición del polinomio $x^3 - 1$ en producto de polinomios irreducibles es

$x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)$

Otra posible descomposición del polinomio $x^3 - 1$ en producto de polinomios irreducibles es

$x^3 - 1 = \left( \, 2x - 2 \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{2} x^2 + <pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right) </pre> $

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real $a$ distinto de 0, se tiene que

$x^3 - 1 = \left( \, ax - a \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{a} x^2 + <pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right) </pre> $

Simplificación de fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el numerador y en el denominador por su maximo común divisor. Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de calcular el maximo común divisor de dos números naturales.

En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los polinomios irreducibles que se obtengan verifiquen lo siguiente:

Si $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es un polinomio irreducible de grado $n$ obtenido en la factorización de un polinomio, entonces el coeficiente que multiplica a $x^n$ en $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es 1.

De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del denominador ).

Ejemplo

$\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x <pre> \cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} </pre> $