Posiciones relativas de dos planos

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Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:

1. Secantes.

2. Coincidentes.

3. Paralelos.

Sean dos planos [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y $\pi_2$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 x \, + \, b_1 y \, + \, c_1 \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 x \, + \, b_2 y \, + \, c_2 \, + \, d_2 \, = \, 0$

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos, cuyas matrices asociadas son:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los siguientes casos:

Caso 1: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan según una recta. Son planos secantes.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, x \, + \, y \, + \, z \, = \, 2$

son secantes, pues:

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

Caso 2: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, siendo la segunda ecuación proporcional a la primera. Los planos tienen en comun todos sus puntos. Son planos coincidentes.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, 2x \, + \, 2y \, - \, 2z \, = \, 2$

son coincidentes, pues:

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1

Caso 3: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los planos no tienen ningun punto en común. Son planos paralelos.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 2$

son paralelos, pues:

Rango ( A ) = 1 mientras que Rango ( A | B ) = 2

Obtenido de "http://wikillerato.org/Posiciones_relativas_de_dos_planos.html"

Categoría: Matemáticas

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