Navegación
Posiciones relativas de dos planos
De Wikillerato
Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:
1. Secantes.
2. Coincidentes.
3. Paralelos.
Sean dos planos
y
de ecuaciones:
Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos, cuyas matrices asociadas son:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los siguientes casos:
Caso 1: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2
El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan según una recta. Son planos secantes.
Asi, los planos
son secantes, pues:
Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2
Caso 2: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1
El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, siendo la segunda ecuación proporcional a la primera. Los planos tienen en comun todos sus puntos. Son planos coincidentes.
Asi, los planos
son coincidentes, pues:
Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1
Caso 3: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2
El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los planos no tienen ningun punto en común. Son planos paralelos.
Asi, los planos
son paralelos, pues:
Rango ( A ) = 1 mientras que Rango ( A | B ) = 2
