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Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
De Wikillerato
Tabla de contenidos |
Introducción
Método de reducción
Método de igualación
Método de sustitución
Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.
Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.
Ejemplo
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
\\
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-b4daf9b08947470816a091c908c8b878.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1
\\
x \, - \, y \, - \, z & = & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
es:
![\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~1 & ~~1 & -1
\\
~~1 & -1 & -1
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
~~1
\\
-1
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-9d6156e83361678f19df40db3ecf5638.png "\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~1 & ~~1 & -1
\\
~~1 & -1 & -1
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
~~1
\\
-1
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
![\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & ~~0 & -2
\\
~~0 & -2 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-2
\\
-4
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-45eb9fde313d2a75f1b05cd42aac6c52.png "\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & ~~0 & -2
\\
~~0 & -2 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-2
\\
-4
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:
![\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & -2 & -2
\\
~~0 & ~~0 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-4
\\
-2
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-0730ab56aabea929252d49dbf9595acc.png "\left(
</p>
<pre> \left.
\begin{array}[c]{ccc}
~~1 & ~~1 & ~~1
\\
~~0 & -2 & -2
\\
~~0 & ~~0 & -2
\end{array}
\right|
\begin{array}[c]{c}
~~3
\\
-4
\\
-2
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2z & = & -4
\\
-2z & = & -2
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-eb6ec9bc0f3d4f3655e297c2d80271fe.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2z & = & -4
\\
-2z & = & -2
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos
por la solucion de la tercera ecuación (
), para obtener:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2 & = & -4
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-5c98a4989cffb856e694abe6316e1767.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3
\\
-2y \, - \, 2 & = & -4
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita,
, que resolvemos para obtener
. Sustituimos, en la primera ecuación,
por 1 (
). Esto nos da una ecuación en
:
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
Método de la matriz inversa
Un sistema de ecuaciones lineales se puede escribir en forma matricial:
Si
existe, es decir, si
es una matriz cuadrada de determinante no nulo, entonces podemos multiplicar toda
la igualdad anterior por la izquierda por
, para obtener:
que es la solución del sistema de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes
y matriz de terminos independientes
.
Regla de Cramer
Ejemplo
estoy tragado de mi papito por que siempre me hace arroz con huevo, mi papito se encuentra muy mal de salud, le dio varicela en la vagina
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