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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(→Definición de matriz)
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==Definición de Matriz==
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==Definición de matriz==
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Una Matriz
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Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de dimensión
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Es un cuadrado o tabla de números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de dimensión
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B \times C
+
m \times n
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&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
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B
+
m
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&nbsp; filas y &nbsp;
&nbsp; filas y &nbsp;
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C
+
n
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&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
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\left(
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\begin{array}[c]{cccc}
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e_{11 }& e_{12} & \ldots & e_{1C}
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a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
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a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2C}
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a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
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\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
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\\
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a_{B1 }& a_{B2} & \ldots & a_{BC}
+
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
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\right)
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La Matriz &nbsp;
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La matriz &nbsp;
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G
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A
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&nbsp; se puede denotar tambien como &nbsp;
&nbsp; se puede denotar tambien como &nbsp;
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\quad G = \left( e_{ij} \right) \quad
+
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
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&nbsp; donde
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\left\{
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\begin{array}[c]{l}
\begin{array}[c]{l}
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i = 1, \, 2, \, \ldots, \, B
+
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
\\
\\
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j = 1, \, 2, \, \ldots, \, C
+
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
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\right.
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e_{ij}
+
a_{ij}
</math> designa un elemento generico de la matriz &nbsp;
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-
G
+
A
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, &nbsp; el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
, &nbsp; el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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B \times C
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m \times n
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&nbsp; se denota por:
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H_{B \times C}
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M_{m \times n}
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El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
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C \times C
+
n \times n
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, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
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C
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n
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, &nbsp; se denota por:
, &nbsp; se denota por:
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H_C
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M_n
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Las Matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
+
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
<math>
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e_{ii}
+
a_{ii}
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&nbsp;
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*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
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-
e_{ij}
+
a_{ij}
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&nbsp; tales que &nbsp;
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i + j = C + 1
+
i + j = n + 1
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Una '''''Matriz Rectangular'''''
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Una '''''matriz rectangular''''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
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Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
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B \neq C
+
m \neq n
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====Ejemplo de Matriz Fila====
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====Ejemplo de matriz fila====
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\begin{array}[c]{ccc}
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-4 & 5 & 2
+
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\right)
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'''''Matriz Columna'''''
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'''''Matriz columna''''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
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Es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
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B \times 1
+
m \times 1
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====Ejemplo de Matriz Columna====
+
====Ejemplo de matriz columna====
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Una '''''Matriz Nula'''''
+
Una '''''matriz nula''''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
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Es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
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por &nbsp;
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====Ejemplo de Matriz Nula====
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====Ejemplo de matriz nula====
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'''''Matriz Triangular Superior'''''
+
'''''Matriz triangular superior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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Es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo de Matriz Triangular Superior====
+
====Ejemplo de matriz triangular superior====
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'''''Matriz Triangular Inferior'''''
+
'''''Matriz triangular inferior''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
-
Es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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situados por encima de la diagonal principal son ceros.
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
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====Ejemplo de Matriz Triangular Inferior====
+
====Ejemplo de matriz triangular inferior====
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
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6 & ~~0 & 0
+
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\\
\\
3 & -1 & 0
3 & -1 & 0
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1 & -1 & 4
+
1 & -1 & 3
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\right)
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'''''Matriz Diagonal'''''
+
'''''Matriz diagonal''''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
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Es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
+
no situados en la diagonal principal son ceros.
no situados en la diagonal principal son ceros.
Línea 276: Línea 269:
\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
~~6 & ~~0 & ~~0
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~~2 & ~~0 & ~~0
\\
\\
~~0 & -1 & ~~0
~~0 & -1 & ~~0
\\
\\
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~~0 & ~~0 & ~~4
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~~0 & ~~0 & ~~3
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\end{array}
\right)
\right)
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'''''Matriz Escalar'''''
+
'''''Matriz escalar''''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
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Es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
+
de la diagonal principal son iguales.
de la diagonal principal son iguales.
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\left(
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\begin{array}[c]{ccc}
\begin{array}[c]{ccc}
-
4 & {0} & {0}
+
2 & {0} & {0}
\\
\\
-
{0} & 4 & {0}
+
{0} & 2 & {0}
\\
\\
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{0} & {0} & 4
+
{0} & {0} & 2
\end{array}
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\right)
\right)
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'''''Matriz Unidad o Identidad'''''
+
'''''Matriz unidad o identidad''''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son
-
Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son
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todos 1.
todos 1.
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====Ejemplo de Matriz Unidad====
+
====Ejemplo de matriz unidad====
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Revisión de 08:30 10 may 2010

Tabla de contenidos


Definición de matriz


Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de dimensión   m \times n   a un conjunto de números reales dispuestos en   m   filas y   n   columnas de la siguiente forma  


\left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> <p>\right)


La matriz   A   se puede denotar tambien como   \quad A = \left( a_{ij} \right) \quad   donde


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{l} i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m \\ j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \end{array} </pre> <p>\right.


a_{ij} designa un elemento generico de la matriz   A ,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.


El conjunto de matrices de dimension   m \times n   se denota por:


M_{m \times n}


El conjunto de matrices de dimension   n \times n ,   tambien llamadas de orden   n ,   se denota por:


M_n


Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

  • la diagonal principal formada por los elementos de la forma  

a_{ii}  

  • la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma  

a_{ij}   tales que   i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas   \left( </p> <pre> m \neq n </pre> <p>\right) .


Ejemplo de matriz fila


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 3 & 5 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension   m \times 1 .

Ejemplo de matriz columna


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{c} -1 \\ ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por   \mathbf{0} .

Ejemplo de matriz nula


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular superior


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 0 & ~~3 & -1 \\ 0 & ~~0 & ~~2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular inferior


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & ~~0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz diagonal


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} ~~2 & ~~0 & ~~0 \\ ~~0 & -1 & ~~0 \\ ~~0 & ~~0 & ~~3 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo de matriz escalar


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & {0} & {0} \\ {0} & 2 & {0} \\ {0} & {0} & 2 \end{array} \right) </pre> <p>


Matriz unidad o identidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1.

Ejemplo de matriz unidad


</p> <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> <p>

Enlaces externos

  1. Matrices simétricas, J. A. Hervás. Matemáticas y Poesía.
  2. Matrices bisimétricas, J. A. Hervás. Matemáticas y Poesía.
Obtenido de "http://wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html"
   
 
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