¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:19 28 nov 2006

Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension $m \times n$ a un conjunto de números reales dispuestos en $m$ filas y $n$ columnas de la siguiente forma

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> \right)$

La matriz $A$ se puede designar tambien como $\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad$ donde

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{l} i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m \\ j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \end{array} </pre> \right.$

Un elemento generico de la matriz se designa por $a_{ij}$ en el cual el subindice $i$ representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice $j$ el numero de columna.

El conjunto de matrices de dimension $m \times n$ se denota por:

$M_{m \times n}$

El conjunto de matrices de dimension $n \times n$ , tambien llamadas de orden $n$ , se denota por:

$M_n$

Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

la diagonal principal formada por los elementos de la forma

$a_{ii}$

la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma

$a_{ij}$ tales que $i + j = n + 1$

$\begin{array}[c]{cc} <pre> \left( \begin{array}[c]{cccc} \mathbf{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & \mathbf{a_{22}} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & \mathbf{a_{33}} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \mathbf{a_{44}} \end{array} \right) & \left( \begin{array}[c]{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mathbf{a_{14}} \\ a_{21} & a_{22} & \mathbf{a_{23}} & a_{24} \\ a_{31} & \mathbf{a_{32}} & a_{33} & a_{34} \\ \mathbf{a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{array} \right) \\ & \\ \makebox{Diagonal principal} & \makebox{Diagonal secundaria} </pre> \end{array}$

Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas $\left( <pre> m \neq n </pre> \right)$

Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 2 & ~~3 & -1 \end{array} \right) </pre> $

Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension $1 \times n$ Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 3 & 5 \end{array} \right) </pre> $

Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension $m \times 1$ Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{c} -1 \\ ~~3 \end{array} \right) </pre> $

Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por $0$ . Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) </pre> $

Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 0 & ~~3 & -1 \\ 0 & ~~0 & ~~2 \end{array} \right) </pre> $

Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & ~~0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) </pre> $

Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros. Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} ~~2 & ~~0 & ~~0 \\ ~~0 & -1 & ~~0 \\ ~~0 & ~~0 & ~~3 \end{array} \right) </pre> $

Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & {0} & {0} \\ {0} & 2 & {0} \\ {0} & {0} & 2 \end{array} \right) </pre> $

Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos $1$ . Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> $

Tabla de contenidos

1 Matriz inversa
- 1.1 Calculo de la matriz inversa
  - 1.1.1 Mediante la definicion
  - 1.1.2 Método de Gauss-Jordan
2 Rango de una matriz

Matriz inversa

La matriz inversa de una matriz cuadrada $A$ de orden $n,$ es la matriz $, A^{-1},$ de orden $n$ que verifica:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

Calculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:

Mediante la definicion

Por ejemplo para hallar la matriz inversa de la matriz

$A = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right)$

hacemos

$A^{-1} = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right)$

como

$I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right)$

Operando:

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right) \Leftrightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

$\Rightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular $A$ se calcular transformando la matriz $\left( <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> \right)$ mediante operaciones elementales por filas en la matriz $\left( <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> \right)$

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

Intercambiar las filas

$i$ y $j,$ que designaremos por $F_i \longrightarrow F_j$

Multiplicar la fila

$i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por $F_i \tau k \cdot F_i$

Multiplicar la fila

$i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por $F_i \tau k \cdot F_i$

Sumar las filas

$i$ y $j,$ , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila $i$ o $j$ . Lo designamos por $F_i$ o $F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j$