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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

Tabla de contenidos


Definición de matriz


Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión   
m \times n 
  a un conjunto de números reales dispuestos en   
m
  filas y   
n
  columnas de la siguiente forma  



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


La matriz   
\mathbf{A} 
  se puede denotar también como   
\quad \mathbf{A} = \left( a_{ij} \right) \quad
  donde



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
   i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
   \\
   j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
 \end{array}
</pre>
<p>\right.



a_{ij}
designa un elemento generico de la matriz   
\mathbf{A}
,   el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.

Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.

Tipos de matrices


Matrices cuadradas


Las matrices cuadradas son aquellas que tienen el mismo número de filas que de columnas.


En las matrices cuadradas tenemos:


la diagonal principal formada por los elementos de la forma   
a_{ii}
 

la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma   
a_{ij}
  tales que   
i + j = n + 1


Image:diagonales.gif


Matrices rectangulares


Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas. Si una matriz NO es cuadrada tiene que ser rectangular.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     2 & ~~3 & -1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices filas


Una matriz fila es una matriz con una sola fila. Su dimensi\'on es   
1 \times n
.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     -1 & 3 & 5 
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices columna


Una matriz columna es una matriz rectangular con una sola columna. Su dimensión es   
m \times 1
.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{c}
     -1 
     \\
     ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices nulas


Una matriz nula es una matriz cuyos elementos sont todos nulos. Se denota por   
\mathbf{0}_{m \times n}
.


Donde   
m \times n
  es la dimensión de la matriz.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     0 & 0 & 0
     \\
     0 & 0 & 0
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices triangulares superiores


Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & -1 & ~~0
     \\
     0 & ~~3 & -1
     \\
     0  & ~~0 & ~~2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices triangulares inferiores


Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & ~~0 & 0 
     \\
     3 & -1 & 0
     \\
     1 & -1 & 3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices diagonales


Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los terminos NO situados en la diagonal principal son ceros.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     ~~2 & ~~0 & ~~0 
     \\
     ~~0 & -1 & ~~0
     \\
     ~~0 & ~~0 & ~~3
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices escalares


Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     2 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 2 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 2
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


Matrices unidad o identidad


Una matriz unidad o identidad es una matriz escalar cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1.


Ejemplo



</p>
<pre> \left(
   \begin{array}[c]{ccc}
     1 & {0} & {0} 
     \\
     {0} & 1 & {0}
     \\
     {0} & {0} & 1
   \end{array}
 \right)
</pre>
<p>


   
 
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