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Ángulo doble y ángulo mitad

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (11:32 17 ago 2007) (editar) (deshacer)
 
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Como se explica en la sección sobre la [[razones trigonométricas de la suma y diferencia
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Como se explica en la sección sobre las [[Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos|razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos]]:
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de ángulos|Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos]]:
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Línea 34: Línea 33:
Teniendo en cuenta que &nbsp;
Teniendo en cuenta que &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{sen}
+
\mathrm{sen}^2
\left(
\left(
\, \alpha \,
\, \alpha \,
\right)
\right)
-
^2 \, + \, \mathrm{cos}
+
\, + \, \mathrm{cos}^2
\left(
\left(
\, \alpha \,
\, \alpha \,
\right)
\right)
-
^2 \, = \, 1
+
\, = \, 1
</math>
</math>
, deducimos que:
, deducimos que:
Línea 52: Línea 51:
\mathrm{cos}
\mathrm{cos}
\left(
\left(
-
\, \alpha \, + \alpha \,
+
\, 2 \cdot \alpha \,
\right)
\right)
\, = \, \mathrm{cos}
\, = \, \mathrm{cos}
Línea 64: Línea 63:
\, - \,
\, - \,
\left(
\left(
-
\, 1 \, - \, \mathrm{cos}
+
\, 1 \, - \, \mathrm{cos}^2
\left(
\left(
-
\, \alpha \,
+
\, \alpha \,
-
\right)
+
\right)
-
\cdot \mathrm{cos}
+
\right)
-
\left(
+
\, = \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
-
\, \alpha \,
+
\left(
 +
\, \alpha \,
\right)
\right)
\right)
\right)
-
\, = \,
+
\, - \, 1
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
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<br/>
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Según lo que se explica en la sección sobre [[Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos|razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos]]:
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<center>
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<math>
 +
\mathrm{sen}
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\left(
 +
\, \alpha \, + \alpha \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{sen}
 +
\left(
 +
\, \alpha \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, \alpha \,
 +
\right)
 +
\, + \,
\mathrm{cos}
\mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, \alpha \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{sen}
\left(
\left(
\, \alpha \,
\, \alpha \,
-
\right)
 
\right)
\right)
-
^2 \, - \, 1
 
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
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<br/>
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Por tanto
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<center>
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\mathrm{sen}
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\left(
 +
\, 2 \cdot \alpha \,
 +
\right)
 +
\, = \, 2 \cdot \mathrm{sen}
 +
\left(
 +
\, \alpha \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, \alpha \,
 +
\right)
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Si en las dos igualdades obtenidas:
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\left\{
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\begin{array}[c]{rcl}
 +
\mathrm{cos} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot
 +
\mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \, - \, 1
 +
\\
 +
& &
 +
\\
 +
\mathrm{sen} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen}
 +
\left( \, \alpha \, \right) \cdot \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)
 +
\end{array}
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\right.
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</math>
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</center>
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sustituimos &nbsp;
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<math>
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\alpha
 +
</math>
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&nbsp; por &nbsp;
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\frac{\alpha}{2}
 +
</math>
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, obtenemos:
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<math>
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\left\{
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\begin{array}[c]{rcl}
 +
\mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
 +
\left(
 +
\, \frac{\alpha}{2} \,
 +
\right)
 +
\right)
 +
\, - \, 1
 +
\\
 +
& &
 +
\\
 +
\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot
 +
\mathrm{sen}
 +
\left(
 +
\, \frac{\alpha}{2} \,
 +
\right)
 +
\cdot \mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, \frac{\alpha}{2} \,
 +
\right)
 +
\end{array}
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\right.
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</math>
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</center>
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<br/>
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 +
Si consideramos el anterior par de igualdades como un sistema de ecuaciones cuyas
 +
incógnitas son &nbsp;
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<math>
 +
\mathrm{sen}
 +
\left(
 +
\, \frac{\alpha}{2} \,
 +
\right)
 +
</math>
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&nbsp; y &nbsp;
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<math>
 +
\mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, \frac{\alpha}{2} \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; y resolvemos ese sistema de ecuaciones, se llega a las siguientes igualdades:
 +
 +
<br/>
 +
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<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, \frac{\alpha}{2} \,
 +
\right)
 +
\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, + \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<math>
 +
\mathrm{sen}
 +
\left(
 +
\, \frac{\alpha}{2} \,
 +
\right)
 +
\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, - \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}
 +
</math>
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</center>
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<br/>
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En ambos casos se elige el signo de la raíz [[Razones trigonométricas|en función de en qué cuadrante]] esté &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{\alpha}{2}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Como se explica en la sección sobre las razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \alpha \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, - \,        
</pre>
<p>\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)


Teniendo en cuenta que   
\mathrm{sen}^2
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
\, + \, \mathrm{cos}^2
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
\, = \, 1
, deducimos que:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, 2 \cdot \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, - \,
\left(
  \, 1 \, - \, \mathrm{cos}^2
  \left(
    \, \alpha \, 
  \right)
\right)
\, = \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
\left(
  \, \alpha \, 
\right)  
</pre>
<p>\right)
\, - \, 1


Según lo que se explica en la sección sobre razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos:



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \alpha \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, + \,        
</pre>
<p>\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)


Por tanto



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, 2 \cdot \alpha \, 
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, 2 \cdot \mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)


Si en las dos igualdades obtenidas:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{cos} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot
   \mathrm{cos}^2 \left( \, \alpha \, \right) \, - \, 1
   \\
   & & 
   \\
   \mathrm{sen} \left( \, 2 \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{sen}
   \left( \, \alpha \, \right) \cdot  \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) 
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


sustituimos   
\alpha
  por   
\frac{\alpha}{2}
, obtenemos:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot \mathrm{cos}^2
   \left(
     \, \frac{\alpha}{2} \, 
   \right)  
 \right)
 \, - \, 1
 \\
 & & 
 \\
 \mathrm{sen} \left( \, \alpha \, \right) \, & = & \, 2 \cdot
 \mathrm{sen}
 \left(
   \, \frac{\alpha}{2} \,
 \right)   
 \cdot  \mathrm{cos}
 \left(
   \, \frac{\alpha}{2} \,
 \right)  
</pre>
<p>\end{array}
\right.


Si consideramos el anterior par de igualdades como un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son   
\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)   
  y   
\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)   
  y resolvemos ese sistema de ecuaciones, se llega a las siguientes igualdades:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, + \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre> \, \frac{\alpha}{2} \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \pm \sqrt{\frac{1 \, - \, \mathrm{cos} \left( \, \alpha \, \right)}{2}}


En ambos casos se elige el signo de la raíz en función de en qué cuadrante esté   
\frac{\alpha}{2}
.


   
 
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