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Áreas de triángulos y tetraedros

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (09:07 8 nov 2010) (editar) (deshacer)
 
(4 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
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==Área de un triángulo del que se conocen los vértices==
-
==Área de un triángulo del que se conocen los vertices==
+
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Línea 51: Línea 50:
<br/>
<br/>
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<center>
-
\text{Area del} \overset{\triangle}{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \vec{AC} \, \right|
+
<math>
 +
\text{Area del triángulo } \overset{\triangle}{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \vec{AC} \, \right|
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 77: Línea 76:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{1}{6} \cdot \left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times
+
\left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times
\mathbf{w} \, \right) \right|
\mathbf{w} \, \right) \right|
</math>
</math>
Línea 92: Línea 91:
\mathbf{w}
\mathbf{w}
</math>
</math>
-
es:
+
es un sexto del volumen del paralelogramo que determinan:
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 99: Línea 98:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
En caso, de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos
+
En caso de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos
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utilizar la formula anterior remplazando
+
utilizar la formula anterior para calcular su volumen reemplazando
<math>
<math>
\mathbf{u}
\mathbf{u}

Revisión actual

Área de un triángulo del que se conocen los vértices


El área de un paralelogramo determinado por dos vectores 
\mathbf{u}
y 
\mathbf{v}


Imagen:paralelogramo.png


es el módulo de su producto vectorial:


\text{Area del paralelogramo} = \left| \, \mathbf{u} \times \mathbf{v} \, \right|


El área de un triángulo de vertices A, B y C


Imagen:paralelogramoYTrigb.png


es la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores   
\Vec{AB}
  y   
\vec{AC}
:



\text{Area del triángulo } \overset{\triangle}{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \vec{AC} \, \right|


Volumen de un tetraedro del que se conocen los vértices


El volumen del paralepípedo determinado por tres vectores 
\mathbf{u}
. 
\mathbf{v}
y 
\mathbf{w}
es el valor absoluto del producto mixto de esos vectores:


\left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times 
</p>
<pre>   \mathbf{w} \, \right) \right|
</pre>
<p>

El volumen de un tetraedro determinado por 
\mathbf{u}
. 
\mathbf{v}
y 
\mathbf{w}
es un sexto del volumen del paralelogramo que determinan:


\frac{1}{6} \cdot \left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times 
</p>
<pre>   \mathbf{w} \, \right) \right|
</pre>
<p>

En caso de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos utilizar la formula anterior para calcular su volumen reemplazando 
\mathbf{u}
por   
\Vec{AB}
,   
\mathbf{v}
por   
\vec{AC}
,   y 
\mathbf{w}
por   
\vec{AD}
.


Imagen:tetraedro.png


   
 
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