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Áreas de triángulos y tetraedros

De Wikillerato

Área de un triángulo del que se conocen los vértices


El área de un paralelogramo determinado por dos vectores 
\mathbf{u}
y 
\mathbf{v}


Imagen:paralelogramo.png


es el módulo de su producto vectorial:


\text{Area del paralelogramo} = \left| \, \mathbf{u} \times \mathbf{v} \, \right|


El área de un triángulo de vertices A, B y C


Imagen:paralelogramoYTrigb.png


es la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores   
\Vec{AB}
  y   
\vec{AC}
:



\text{Area del triángulo } \overset{\triangle}{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \left| \, \Vec{AB} \times \vec{AC} \, \right|


Volumen de un tetraedro del que se conocen los vértices


El volumen del paralepípedo determinado por tres vectores 
\mathbf{u}
. 
\mathbf{v}
y 
\mathbf{w}
es el valor absoluto del producto mixto de esos vectores:


\left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times 
</p>
<pre>   \mathbf{w} \, \right) \right|
</pre>
<p>

El volumen de un tetraedro determinado por 
\mathbf{u}
. 
\mathbf{v}
y 
\mathbf{w}
es un sexto del volumen del paralelogramo que determinan:


\frac{1}{6} \cdot \left| \, \mathbf{u} \cdot \left( \, \mathbf{v} \times 
</p>
<pre>   \mathbf{w} \, \right) \right|
</pre>
<p>

En caso de que conociesemos los vertices A, B, C y D del tetraedro, podriamos utilizar la formula anterior para calcular su volumen reemplazando 
\mathbf{u}
por   
\Vec{AB}
,   
\mathbf{v}
por   
\vec{AC}
,   y 
\mathbf{w}
por   
\vec{AD}
.


Imagen:tetraedro.png


   
 
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