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Algunos problemas con triángulos

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(Problema VI)
(Problema XII)
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==Problema XII==
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Conocemos dos circunferencias, la menor inscrita y la mayor exinscrita a un triángulo <math>ABC</math>. Construir el triángulo.
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Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son <math>ABC</math> y <math>A'B'C'</math>.
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==Problema XIII==
==Problema XIII==

Revisión de 02:20 20 sep 2011

Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas.

Tabla de contenidos

Problema de Napoleón

Este problema atribuido al emperador francés es realmente otra propiedad de los triángulos, aunque se la conoce con el nombre de problema: “Si en un triángulo arbitrario ABC se construye un equilátero con un lado coincidente con cada lado, los puntos notables de estos triángulos determinan otro equilátero”.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_32.gif

Problema I

AB \ es la hipotenusa del triángulo. X es el punto por el que pasa la bisectriz de ángulo en C. Construir el triángulo ABC.

El triángulo buscado es rectángulo, siendo ACB=90^\circ. Si dibujamos el arco capaz de 90^\circ para AB \ y el de 45^\circ para AX \ el problema está resuelto. El punto C es la intersección de los dos arcos capaces. Hay otra solución simétrica a ABC respecto de AB \ .

Imagen:DibujoTecnico_I-2_33.gif

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Problema V

Conocemos el lado AB \ de un triángulo y sus medianas ma y mc. Construir el triángulo.

Trazamos la mediatriz de AB \ para hallar su punto medio M.

Dividimos en tres partes iguales cada mediana. Con centro en A y radio 2ma/3 trazamos un arco. Con centro en M y radio mc/3 trazamos otro arco que cortará al anterior en el baricentro. Una vez situadas las medianas, llevamos la magnitud mc desde M, así hallamos C y trazamos el triángulo ABC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_37.gif

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Problema VII

Conocemos el segmento CO determinado por el circuncentro y el ortocentro de un triángulo ABC y su vértice B. Construir el triángulo.

Trazamos la circunferencia circunscrita con centro en el circuncentro C y radio CB. Sabemos que el vector CO es la suma de los vectores CA+CB+CC, siendo C el circuncentro.

Realizamos la operación inversa hallando CD; igual y paralelo a BO, tal que CB +CD=CO. Por D trazamos un arco de radio igual al radio de la circunscrita ya que CA=CB=CC son radios de dicha circunferencia. Sus intersecciones con la circunscrita son los puntos A y C vértices de ABC.

Comprobamos que el vector CD=CA+CC y por lo tanto CO=CA+CB+CC.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_39.gif

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Problema IX

Conocemos la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, el vértice A y la bisectriz bC . Construir el triángulo ABC.

La bisectriz b_C se cortará con la mediatriz del lado AB \ opuesto al ángulo en C en un punto X de la circunscrita. La recta XC es la mediatriz de AB, m_{AB} . El vértice B es simétrico de A respecto a dicha mediatriz.

Por otra parte la bisectriz bC corta a la circunscrita en el vértice C.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_41.gif

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Problema XI

Conocemos dos circunferencias exinscritas a un triángulo ABC. Construir el triángulo.

Trazamos las rectas tangentes comunes interiores y exteriores a las circunferencias dadas. Los triángulos solución, simétricos respecto de la recta que une los centros de las circunferencias, son ABC y A'B'C'.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_43.gif

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Problema XIII

Dado un triángulo ABC, construir sus circunferencias inscrita, circunscrita y de Feuerbach, sus puntos y rectas notables y su recta de Euler.

En la figura también se ha señalado el punto de tangencia entre la circunferencia inscrita y la de Feuerbach.

Imagen:DibujoTecnico_I-2_45.gif

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