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Asíntotas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (19:03 2 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(25 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 3: Línea 3:
==Introducción==
==Introducción==
-
Las asintotas son rectas a las que "se aproximan" la gráfica de la función.
+
Las asíntotas de una funcíon son rectas a las que "se aproximan" su gráfica.
<br/>
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-
 
En los siguientes
En los siguientes
Línea 13: Línea 12:
<br/>
<br/>
-
==Asintotas verticales==
+
==Asíntotas verticales==
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<br/>
Línea 20: Línea 19:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
y = a
+
x = a
</math>
</math>
</center>
</center>
-
es una asintota vertical de la función
+
es una '''''asíntota vertical''''' de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
Línea 59: Línea 58:
<br/>
<br/>
-
No hay limite al número de asintotas verticales que puede tener una función.
+
No hay limite al número de asíntotas verticales que puede tener una función.
-
 
+
-
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+
-
 
+
-
==Ejemplos==
+
<br/>
<br/>
Línea 75: Línea 70:
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
</math>
</math>
-
&nbsp; tiene una asintota vertical de ecuación
+
&nbsp; tiene una asíntota vertical de ecuación
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 94: Línea 89:
</center>
</center>
-
Notese que la asintota vertical es el eje Y.
+
Notese que la asíntota vertical de esta función es el eje Y.
<br/>
<br/>
Línea 106: Línea 101:
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \arc \tan \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \arc \tan \left( \, x \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; tiene una asintota vertical de ecuación
+
&nbsp; tiene una asíntota vertical de ecuación
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 117: Línea 112:
</math>.
</math>.
-
Por lo tanto, tiene infinitas asintotas verticales.
+
Por lo tanto, tiene infinitas asíntotas verticales.
<br/>
<br/>
-
==Asintota vertical y gráfica==
+
==Asíntota vertical y gráfica==
<br/>
<br/>
-
A la hora de dibujar en la gráfica una asintota vertical de ecuacion &nbsp;
+
A la hora de dibujar en la gráfica una asíntota vertical de ecuación &nbsp;
<math>
<math>
x = a
x = a
Línea 141: Línea 136:
Veamos varios ejemplos en los que se ve claramente los distintos tipos de
Veamos varios ejemplos en los que se ve claramente los distintos tipos de
-
asintotas verticales que se pueden tener dependiendo de como sean los limites
+
asíntotas verticales que se pueden tener dependiendo de como sean los limites
laterales anteriores.
laterales anteriores.
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
==Ejemplos==
 
<br/>
<br/>
Línea 160: Línea 151:
<br/>
<br/>
-
A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a
+
A la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical la función tiende a &nbsp;
<math>
<math>
+\infty
+\infty
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\left( \, \lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \lim_{x
 +
\to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty \, \right)
</math>.
</math>.
Línea 177: Línea 173:
<br/>
<br/>
-
A la izquierda y a la derecha de la asintota vertical la función tiende a
+
A la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical la función tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-\infty
-\infty
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\left( \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \lim_{x
 +
\to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty \, \right)
</math>.
</math>.
 +
<br/>
<br/>
Línea 194: Línea 196:
<br/>
<br/>
-
A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a
+
A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
+\infty
+
+\infty
</math>
</math>
-
y a la derecha a
+
&nbsp; y a la derecha a &nbsp;
<math>
<math>
-
-\infty
+
-\infty
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
\left( \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty, \,
 +
\lim_{x \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty \, \right)
</math>.
</math>.
Línea 215: Línea 222:
<br/>
<br/>
-
A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a
+
A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a &nbsp;
<math>
<math>
-
-\infty
+
\, -\infty
 +
</math>
 +
&nbsp; y a la derecha a &nbsp;
 +
<math>
 +
+\infty
</math>
</math>
-
y a la derecha a
+
 
<math>
<math>
-
+\infty
+
\left( \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty, \,
 +
\lim_{x
 +
\to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty ) \, \right)
</math>.
</math>.
Línea 236: Línea 249:
<br/>
<br/>
-
A la izquierda de la asintota vertical la función tiende a un punto en la
+
A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a un punto en la
-
asintota vertical
+
asíntota vertical, es decir, &nbsp;
-
y a la derecha la función tiende a
+
<math>
<math>
-
+\infty
+
\lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es finito, mientras que por la derecha la función tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
+\infty
 +
\left( \, \lim_{x \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty \right)
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Asintotas horizontales==
+
==Asíntotas horizontales==
<br/>
<br/>
Línea 253: Línea 270:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación &nbsp;
+
tiene una '''''asíntota horizontal por la derecha''''' de ecuación &nbsp;
<math>
<math>
y = a
y = a
Línea 270: Línea 287:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación &nbsp;
+
tiene una '''''asíntota horizontal por la izquierda''''' de ecuación &nbsp;
<math>
<math>
y = a
y = a
Línea 283: Línea 300:
Pueden darse los siguientes casos:
Pueden darse los siguientes casos:
-
# 1. No existe ninguna asintota horizontal.
+
# 1. No existe ninguna asíntota horizontal.
-
# 2. Existe una unica asintota horizontal por la derecha pero no existe asintota
+
# 2. Existe una unica asíntota horizontal por la derecha pero no existe asíntota
horizontal por la izquierda.
horizontal por la izquierda.
-
# 3. Existe una unica asintota horizontal por la izquierda pero no existe asintota
+
# 3. Existe una unica asíntota horizontal por la izquierda pero no existe asíntota
horizontal por la derecha.
horizontal por la derecha.
-
# 4. Existen dos asintotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha.
+
# 4. Existen dos asíntotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha.
-
En este ultimo caso, las asintotas horizontales por la derecha y por la
+
En este ultimo caso, las asíntotas horizontales por la derecha y por la
-
izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.
+
izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincidir.
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
==Ejemplos==
+
<br/>
<br/>
Línea 310: Línea 323:
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
</math>
</math>
-
&nbsp; tiene una asintota horizontal de ecuación
+
&nbsp; tiene una asíntota horizontal de ecuación
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 329: Línea 342:
</center>
</center>
-
En este caso la asintota horizontal por la iznquierda y por la derecha coinciden
+
En este caso la asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha coinciden
( ambas son el eje X ).
( ambas son el eje X ).
Línea 338: Línea 351:
<br/>
<br/>
-
Gráfica de una función con asintota horizontal por la izquierda:
+
Gráfica de una función con asíntota horizontal por la izquierda:
<br/>
<br/>
Línea 352: Línea 365:
<br/>
<br/>
-
Gráfica de una función con asintota horizontal por la derecha:
+
Gráfica de una función con asíntota horizontal por la derecha:
<br/>
<br/>
Línea 367: Línea 380:
<br/>
<br/>
-
Gráfica de una función con asintotas horizontales por derecha y por la izquierda
+
Gráfica de una función con asíntotas horizontales por la derecha y por la izquierda:
-
( ambas coinciden en este ejemplo ):
+
<br/>
<br/>
Línea 378: Línea 390:
<br/>
<br/>
-
==Asintotas oblicuas==
+
==Asíntotas oblicuas==
<br/>
<br/>
Línea 396: Línea 408:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
tiene una asintota oblicua por la derecha.
+
tiene una '''''asíntota oblicua por la derecha'''''.
<br/>
<br/>
-
En este caso, la asintota oblicua por la derecha es la recta de ecuación
+
En este caso, la asíntota oblicua por la derecha es la recta de ecuación
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 430: Línea 442:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
tiene una asintota oblicua por la izquierda.
+
tiene una '''''asíntota oblicua por la izquierda'''''.
<br/>
<br/>
-
En este caso, la asintota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación
+
En este caso, la asíntota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 454: Línea 466:
Pueden darse los siguientes casos:
Pueden darse los siguientes casos:
-
# 1. No existe ninguna asintota oblicua.
+
# 1. No existe ninguna asíntota oblicua.
-
# 2. Existe una unica asintota oblicua por la derecha pero no existe asintota
+
# 2. Existe una unica asíntota oblicua por la derecha pero no existe asíntota
oblicua por la izquierda.
oblicua por la izquierda.
-
# 3. Existe una unica asintota oblicua por la izquierda pero no existe asintota
+
# 3. Existe una unica asíntota oblicua por la izquierda pero no existe asíntota
oblicua por la derecha.
oblicua por la derecha.
-
# 4. Existen dos asintotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.
+
# 4. Existen dos asíntotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.
-
En este ultimo caso, las asintotas oblicuas por la derecha y por la
+
En este ultimo caso, las asíntotas oblicuas por la derecha y por la
izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.
izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.
<br/>
<br/>
-
Si por la derecha existe asintota horizontal, no existe asintota oblicua y
+
Si por la derecha ( izquierda ) existe asíntota horizontal, no existe asíntota
-
viceversa. Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asintotas
+
oblicua por la derecha ( izquierda ) y viceversa.
-
horizontal y oblicua por la derecha.
+
<br/>
<br/>
-
Lo dicho en el anterior paragrafo tambien es valido por la izquierda.
+
Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asíntotas
 +
horizontal y oblicua por la derecha ( izquierda ).
<br/>
<br/>
-
==Ejemplos==
+
===Ejemplo 1===
<br/>
<br/>
-
===Ejemplo 1===
+
Gráfica de una función con asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.
-
 
+
-
Gráfica de una función con asintotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.
+
<br/>
<br/>
Línea 512: Línea 522:
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
<br/>
 +
La función
La función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
tiene una asintota oblicua por la derecha de pendiente 1.
+
tiene una asíntota oblicua por la derecha de pendiente 1.
<br/>
<br/>
Línea 526: Línea 539:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
n = \lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x =
+
n = \lim_{x \to \infty} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) =
-
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f}
+
\lim_{x \to \infty}
\left(
\left(
\, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \,
\, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \,
Línea 533: Línea 546:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Por tanto la ecuación de la asintota oblicua por la derecha es
+
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la derecha es
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 547: Línea 560:
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
<br/>
 +
La función
La función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
tiene una asintota oblicua por la izquierda de pendiente 1.
+
tiene una asíntota oblicua por la izquierda de pendiente 1.
<br/>
<br/>
Línea 562: Línea 578:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
n = \lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x =
+
n = \lim_{x \to -\infty} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) =
-
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f}
+
\lim_{x \to \infty}
\left(
\left(
\, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \,
\, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \,
Línea 569: Línea 585:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Por tanto la ecuación de la asintota oblicua por la izquierda es tambien
+
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la izquierda es tambien
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 576: Línea 592:
</center>
</center>
-
En este ejemplo, las asintotas oblicuas por la izquierda y por la derecha coinciden.
+
En este ejemplo, las asíntotas oblicuas por la izquierda y por la derecha
 +
coinciden.
 +
 
 +
<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


Tabla de contenidos

Introducción

Las asíntotas de una funcíon son rectas a las que "se aproximan" su gráfica.


En los siguientes apartados concretaremos que se entiende por "se aproximan".


Asíntotas verticales


Se dice que la recta vertical de ecuación


x = a

es una asíntota vertical de la función 
\mathrm{f}
, si y solo si


\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

es   
+\infty
  o   
-\infty
,   o bien


\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

es   
+\infty
  o   
-\infty
.


No hay limite al número de asíntotas verticales que puede tener una función.


Ejemplo 1


La función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
  tiene una asíntota vertical de ecuación


x = 0

ya que


\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty

y


\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty

Notese que la asíntota vertical de esta función es el eje Y.


Ejemplo 2


La función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \arc \tan \left( \, x \, \right)
  tiene una asíntota vertical de ecuación


x = \frac{\pi}{2} + n \cdot \pi

para cada   
n \in \mathbb{Z}
.

Por lo tanto, tiene infinitas asíntotas verticales.


Asíntota vertical y gráfica


A la hora de dibujar en la gráfica una asíntota vertical de ecuación   
x = a
,   es importante conocer ambos limites laterales:


\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) 
  y   
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

Veamos varios ejemplos en los que se ve claramente los distintos tipos de asíntotas verticales que se pueden tener dependiendo de como sean los limites laterales anteriores.


Ejemplo 1


Imagen:AsintotaV1.png


A la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical la función tiende a   
+\infty


\left(  \, \lim_{x \to 0^-} \mathrm{f}  \left( \, x \,  \right) = \lim_{x
</p>
<pre>   \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty \, \right)
</pre>
<p>.


Ejemplo 2


Imagen:AsintotaV2.png


A la izquierda y a la derecha de la asíntota vertical la función tiende a   
-\infty


\left(  \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f}  \left( \, x \,  \right) = \lim_{x
</p>
<pre>   \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty \, \right)
</pre>
<p>.



Ejemplo 3


Imagen:AsintotaV3.png


A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a   
</p>
<pre>+\infty 
</pre>
<p>   y a la derecha a   
</p>
<pre>-\infty 
</pre>
<p>


\left( \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty, \,
</p>
<pre> \lim_{x \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty \, \right)
</pre>
<p>.


Ejemplo 4


Imagen:AsintotaV4.png


A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a   
\, -\infty 
  y a la derecha a  


</p>
<pre>+\infty 
</pre>
<p>


\left( \, \lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty, \,
</p>
<pre> \lim_{x
   \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty ) \, \right)
</pre>
<p>.


Ejemplo 5


Imagen:AsintotaV5.png


A la izquierda de la asíntota vertical la función tiende a un punto en la asíntota vertical, es decir,   
\lim_{x \to 5^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) 
  es finito, mientras que por la derecha la función tiende a   
</p>
<pre>+\infty 
</pre>
<p>\left( \, \lim_{x \to 5^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = +\infty \right)
.


Asíntotas horizontales


La función 
\mathrm{f}
tiene una asíntota horizontal por la derecha de ecuación   
y = a
  si y solo si


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a


La función 
\mathrm{f}
tiene una asíntota horizontal por la izquierda de ecuación   
y = a
  si y solo si


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = a

Pueden darse los siguientes casos:

  1. 1. No existe ninguna asíntota horizontal.
  1. 2. Existe una unica asíntota horizontal por la derecha pero no existe asíntota

horizontal por la izquierda.

  1. 3. Existe una unica asíntota horizontal por la izquierda pero no existe asíntota

horizontal por la derecha.

  1. 4. Existen dos asíntotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha.

En este ultimo caso, las asíntotas horizontales por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincidir.


Ejemplo 1


La función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}
  tiene una asíntota horizontal de ecuación


y = 0

ya que


\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0

y


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0

En este caso la asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha coinciden ( ambas son el eje X ).


Ejemplo 2


Gráfica de una función con asíntota horizontal por la izquierda:


Imagen:AsintotaHI.png


Ejemplo 3


Gráfica de una función con asíntota horizontal por la derecha:


Imagen:AsintotaHD.png



Ejemplo 4


Gráfica de una función con asíntotas horizontales por la derecha y por la izquierda:


Imagen:AsintotaHID.png


Asíntotas oblicuas


Si


\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}

es un número real 
m
distinto de cero diremos que la función 
\mathrm{f}
tiene una asíntota oblicua por la derecha.


En este caso, la asíntota oblicua por la derecha es la recta de ecuación


y = m \cdot x + n

donde


n = \lim_{x \to \infty}
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \,
</pre>
<p>\right)

Si


\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{x}

es un número real 
m
distinto de cero diremos que la función 
\mathrm{f}
tiene una asíntota oblicua por la izquierda.


En este caso, la asíntota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación


y = m \cdot x + n

donde


n = \lim_{x \to -\infty}
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - m \cdot x \,
</pre>
<p>\right)


Pueden darse los siguientes casos:

  1. 1. No existe ninguna asíntota oblicua.
  1. 2. Existe una unica asíntota oblicua por la derecha pero no existe asíntota

oblicua por la izquierda.

  1. 3. Existe una unica asíntota oblicua por la izquierda pero no existe asíntota

oblicua por la derecha.

  1. 4. Existen dos asíntotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.

En este ultimo caso, las asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda pueden coincidir, pero, en general, no tienen porque coincider.


Si por la derecha ( izquierda  ) existe asíntota horizontal, no existe asíntota
oblicua por la derecha ( izquierda ) y viceversa.


Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asíntotas horizontal y oblicua por la derecha ( izquierda ).


Ejemplo 1


Gráfica de una función con asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.


Imagen:AsintotaO.png


Ejemplo 2


Sea


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}

Como


\lim_{x \to \infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - x} = 1 \neq 0


La función 
\mathrm{f}
tiene una asíntota oblicua por la derecha de pendiente 1.


Para calcular su ordenada en el origen 
n
calculamos el siguiente limite


n = \lim_{x \to \infty} \left( \,  \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) =
\lim_{x \to \infty} 
\left(
</p>
<pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \,
</pre>
<p>\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1

Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la derecha es


y = x + 1

Como


\lim_{x \to -\infty} \frac{\mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1 \neq 0


La función 
\mathrm{f}
tiene una asíntota oblicua por la izquierda de pendiente 1.


Para calcular su ordenada en el origen 
n
calculamos el siguiente limite


n = \lim_{x \to -\infty} \left( \,  \mathrm{f} \left( \, x \, \right) - 1 \cdot x\, \right) =
\lim_{x \to \infty} 
\left(
</p>
<pre> \, \frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x}{x - 1} \,
</pre>
<p>\right) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1}{x - 1} = 1

Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la izquierda es tambien


y = x + 1

En este ejemplo, las asíntotas oblicuas por la izquierda y por la derecha coinciden.


   
 
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