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Circunferencia

De Wikillerato

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Supongamos que nos dan la siguiente ecuación de una circunferenci:
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==Elementos de una circunferencia==
==Elementos de una circunferencia==

Revisión de 10:31 11 dic 2009

Tabla de contenidos

Definición

Llamamos lugar geométrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

La distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio.


Ecuación

Para obtener la ecuación de la circunferencia consideramos un sistema de referencia ortonormal en el plano (con sus ejes de coordenadas y origen).


Imagen:circunferencia.gif


Si   
C \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  es el centro de la circunferencia de radio   
r
  y   
P \, = \, 
\left(
</p>
<pre>  \, x, \, y \,
</pre>
<p>\right)
  es un punto cualquiera de ella, entonces se verifica que la distancia de   
P
  a   
C
  es   
r
, por tanto:



\sqrt
{
</p>
<pre> \left(
   \, x \, - \, a \,
 \right)
 ^2 \, + \,
 \left(
   \, y \, - \, b \,
 \right)
 ^2 
</pre>
<p>}
\, = \, r


Elevando al cuadrado, obtenemos la ecuación de la circunferencia:



</p>
<pre>\left(
   \, x \, - \, a \,
 \right)
 ^2 \, + \,
 \left(
   \, y \, - \, b \,
 \right)
 ^2 \, = \, r^2
</pre>
<p>


Ejemplo


Supongamos que nos dan la siguiente ecuación de una circunferencia:



x^2 \, + \, y^2 \, + \, 4 \cdot x \, - \, 6 \cdot y \, - \, 12 \, = \, 0


y nos piden calcular el radio y el centro de la misma. Como hemos visto anteriormente, la ecuación de una circunferencia de centro   
C \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right)
  y radio   
r
  se puede escribir de la forma:



</p>
<pre>\left(
   \, x \, - \, a \,
 \right)
 ^2 \, + \,
 \left(
   \, y \, - \, b \,
 \right)
 ^2 \, = \, r^2
</pre>
<p>


Si pasamos   
r^2
  al otro lado del signo igual, desarrollamos los cuadrados y agrupamos los terminos independientes obtenemos:



x^2 \, - \, 2ax \, + \, y^2 \, - \, 2by \, + \,
\left(
</p>
<pre>  \, a^2 \, + \, b^2 \, - \, r^2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 0


Comparando esta ecuación con la que nos dan e igualando coeficientes, obtenemos:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   -2a & = & 4
   \\
   -2b & = & -6
   \\
   a^2 \, + \, b^2 \, - \, r^2 & = & -12
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


de donde se deduce que



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   a & = & -2
   \\
   b & = & 3
   \\
   r & = & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


Elementos de una circunferencia

- Centro : Punto que equidista de todos los puntos de la circunferencia

- Diámetro : El segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro

- Radio :El segmento que une un punto de la circunferencia con el centro

- Cuerda : El segmento que une dos puntos de la circunferencia y no pasa por el centro

- Arco : La porción de circunferencia que une dos puntos de la circunferencia

Enlaces externos

  1. "TRAZOIDE. Teoría y ejercicios resueltos de CIRCUNFERENCIAS y ARCOS en Dibujo Técnico"
  2. Cónicas: Ecuaciones de la circunferencia y la elipse, Pilar Ferrero Casado. Matemáticas: ESO, Bachillerato y Selectividad.
   
 
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