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Composición de movimientos

De Wikillerato

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Línea 6: Línea 6:
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La intención del nadador es atravesar el río de modo perpendicular a las orillas. De hecho, si tomara un objeto en la otra orilla como referencia, justo enfrente del lugar desde donde se lanzaría al agua, para llegar a ese punto, se vería a realizar un esfuerzo contra la corriente y dar sus brazos de modo oblicuo. En caso contrario sus brazadas le llevarán a un lugar de la orilla opuesta río abajo, más o menos abajo en función de la velocidad de la corriente y del tiempo que tardase en atravesar el río. Su dirección sería la de la resultante de la propia velocidad y de la de la corriente.
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La intención del nadador es atravesar el río de modo perpendicular a las orillas. De hecho, si tomara un objeto en la otra orilla como referencia, justo enfrente del lugar desde donde se lanzaría al agua, para llegar a ese punto, se vería obligado a realizar un esfuerzo contra la corriente y nadar con sus brazos de modo oblicuo. En caso contrario sus brazadas le llevarán a un lugar de la orilla opuesta río abajo, más o menos abajo en función de la velocidad de la corriente y del tiempo que tardase en atravesar el río. Su dirección sería la de la resultante de la propia velocidad y de la de la corriente.
Para este movimiento tendríamos una ecuación:
Para este movimiento tendríamos una ecuación:
Línea 28: Línea 28:
<math>v_x = v_0\cos\alpha</math> &nbsp;y&nbsp; <math>v_x = v_0\sin\alpha - gt</math>
<math>v_x = v_0\cos\alpha</math> &nbsp;y&nbsp; <math>v_x = v_0\sin\alpha - gt</math>
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<math>x = v_0\cos\alpha t</math> &nbsp;y&nbsp; <math>y = v_0\sin\alpha t - \frac{1}{2}gt^2</math>
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<math>x = v_0\cos\alpha\, t</math> &nbsp;y&nbsp; <math>y = v_0\sin\alpha\, t - \frac{1}{2}gt^2</math>
A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas del movimiento, pues ambas coordenadas, <math>x</math> e <math>y</math>, son función del parámetro <math>t</math>.
A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas del movimiento, pues ambas coordenadas, <math>x</math> e <math>y</math>, son función del parámetro <math>t</math>.
Línea 36: Línea 36:
Si eliminamos el tiempo entre las dos últimas ecuaciones paramétricas, se obtiene
Si eliminamos el tiempo entre las dos últimas ecuaciones paramétricas, se obtiene
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<math> y = x \tan\alpha- \frac{1}{2} \frac{x^2}{ v_0^2\ cos^2\ alpha}</math>
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<math> y = x \tan\alpha- \frac{1}{2} \frac{x^2}{ v_0^2\ cos^2\alpha}</math>
De las ecuaciones paramétricas se puede deducir:
De las ecuaciones paramétricas se puede deducir:
Línea 42: Línea 42:
'''Altura y alcances máximos:'''
'''Altura y alcances máximos:'''
-
La altura máxima <math>y^{*}</math> corresponde al punto donde <math>v_y = 0</math>, es decir <math>0 = v0 \sin \alpha - g t</math>, de donde
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La altura máxima <math>y^{*}</math> corresponde al punto donde <math>v_y = 0</math>, es decir <math>0 = v_0 \sin \alpha - g t</math>, de donde
<math> t = \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g }</math>
<math> t = \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g }</math>
Línea 54: Línea 54:
multiplicando y dividiendo por 2
multiplicando y dividiendo por 2
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<math> x = \frac{2 v_0^2\ sin{2\alpha}} { 2 g }</math>
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<math> x = \frac{v_0^2\ sin{2\alpha}} { 2 g }</math>
Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima <math>y^{*}</math> , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo <math>x^{*}</math> será el doble del de la y máxima, por lo tanto
Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima <math>y^{*}</math> , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo <math>x^{*}</math> será el doble del de la y máxima, por lo tanto
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<math> x_^{*} = \frac{ v_0^2\sin{ 2\alpha}} { g }</math>
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Para conocer la <math>y^{*}</math> nos bastará sustituir el t correspondiente en la ecuación paramétrica de la y:
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Para conocer la <math>y^{*}</math> nos bastará sustituir el <math>t</math> correspondiente en la ecuación paramétrica de la y:
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<math> y^{*} = v_0 \sin\alpha \frac { 2 v_0 \sin\alpha}{ g } - frac {1}{2} g \left (\frac{2 v_0 \sin\alpha }{g}\right )^2</math>
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<math> y^{*} = v_0 \sin\alpha \frac{ v_0 \sin\alpha}{ g } - \frac {1}{2} g \left (\frac{ v_0 \sin\alpha }{g}\right )^2</math>
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Con lo cual <math> y^{*} = frac{ v_0^2\ sin^2\ alpha}{ 2 g }</math>
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Con lo cual <math> y^{*} = \frac{ v_0^2\ sin^2\alpha}{ 2 g }</math>
[[Category:Física]]
[[Category:Física]]

Revisión actual

Composición de movimientos rectilíneos y uniformes

En la vida práctica se trataría del movimiento que sigue un nadador que atraviesa un río, de orilla a orilla, de corriente muy suave en ausencia de remolinos.

Imagen:Composicion_movimientos_uniformes.gif


La intención del nadador es atravesar el río de modo perpendicular a las orillas. De hecho, si tomara un objeto en la otra orilla como referencia, justo enfrente del lugar desde donde se lanzaría al agua, para llegar a ese punto, se vería obligado a realizar un esfuerzo contra la corriente y nadar con sus brazos de modo oblicuo. En caso contrario sus brazadas le llevarán a un lugar de la orilla opuesta río abajo, más o menos abajo en función de la velocidad de la corriente y del tiempo que tardase en atravesar el río. Su dirección sería la de la resultante de la propia velocidad y de la de la corriente.

Para este movimiento tendríamos una ecuación:

\vec v_{resultante} = v_{corriente} \,\vec i + v_{nadador}\, \vec j

de modo que el módulo de la velocidad resultante viene dado por:

  v_{resultante} = \sqrt {v_{corriente}^2\ + v_{nadador} ^2}


Composición de un movimiento rectilíneo y uniforme con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado perpendicular al anterior

Consideremos el lanzamiento de una partícula sometida al campo gravitatorio terrestre, que consideraremos siempre vertical e igual a - g. La velocidad de la partícula forma un ángulo \alpha\neq\pi/2 con la horizontal en el instante del lanzamiento.

Nosotros podremos abordar el estudio del movimiento de la partícula como el resultado de la suma geométrica de un movimiento rectilíneo y uniforme sobre el eje OX y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración igual a â g que se desarrolla sobre el eje 0Y.

a_x = 0  y  a_y = -g

v_x = v_0\cos\alpha  y  v_x = v_0\sin\alpha - gt

x = v_0\cos\alpha\, t  y  y = v_0\sin\alpha\, t  - \frac{1}{2}gt^2

A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas del movimiento, pues ambas coordenadas, x e y, son función del parámetro t.

Imagen:tiro_parabolico.gif

Si eliminamos el tiempo entre las dos últimas ecuaciones paramétricas, se obtiene

 y = x \tan\alpha- \frac{1}{2} \frac{x^2}{ v_0^2\ cos^2\alpha}

De las ecuaciones paramétricas se puede deducir:

Altura y alcances máximos:

La altura máxima y^{*} corresponde al punto donde v_y = 0, es decir 0 = v_0 \sin \alpha - g t, de donde

 t = \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g }

Sustituyendo este valor de t en la ecuación de x

 x = v_0 \cos\alpha \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g  }

 x = \frac{ v_0^2\ sin\alpha \cos\alpha }{ g  }

multiplicando y dividiendo por 2

 x = \frac{v_0^2\ sin{2\alpha}} { 2 g  }

Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima y^{*} , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo x^{*} será el doble del de la y máxima, por lo tanto

 x^{*}  = \frac{ v_0^2\sin 2\alpha} {  g  }

Para conocer la y^{*} nos bastará sustituir el t correspondiente en la ecuación paramétrica de la y:

 y^{*} = v_0 \sin\alpha \frac{ v_0 \sin\alpha}{ g } - \frac {1}{2} g \left (\frac{ v_0 \sin\alpha }{g}\right )^2

Con lo cual  y^{*} = \frac{ v_0^2\ sin^2\alpha}{ 2 g  }

   
 
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