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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:29 2 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(10 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 7: Línea 7:
x \, = \, a
x \, = \, a
</math>
</math>
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, &nbsp;
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, si existe, es el valor del limite:
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-
\mathrm{f}^\prime
+
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
-
\left(
+
-
\, a \,
+
-
\right)
+
-
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
+
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</math>.
</math>.
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Si &nbsp;
+
Si este limite es un número real, la función &nbsp;
<math>
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\mathrm{f}^\prime
+
\mathrm{f}
-
\left(
+
-
\, a \,
+
-
\right)
+
</math>
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&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
+
&nbsp; es '''''derivable''''' en &nbsp;
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 +
x \, = \, a
 +
</math>.
 +
Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es derivable en &nbsp;
+
&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
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<math>
-
x \, = \, a
+
x = a
</math>.
</math>.
-
Si &nbsp;
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La derivada de la función
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\mathrm{f}
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en &nbsp;
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 +
x = a
 +
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 +
&nbsp; se denota por &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}^\prime
\mathrm{f}^\prime
\left(
\left(
-
\, a \,
+
\, a \,
\right)
\right)
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
+
 
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<math>
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-
\mathrm{f}
+
\mathrm{f}^\prime
-
</math>
+
\left(
-
&nbsp; no es derivable en dicho punto.
+
\, a \,
 +
\right)
 +
= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
 +
</math>.
 +
</center>
<br/>
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-
==Ejemplo==
+
==Ejemplo 1==
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Línea 91: Línea 112:
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==Ejemplo 2==
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 +
La función &nbsp;
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<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|
 +
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 +
&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
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 +
x = 0
 +
</math>
 +
&nbsp; ya que no existe el limite
 +
<center>
 +
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 +
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h}
 +
</math>
 +
</center>
 +
No existe por que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
 +
</math>
 +
</center>
 +
y por que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 =
 +
\lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
 +
</math>
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es decir, los dos limites laterales son distintos.
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

La derivada de la función   
\mathrm{f}
  en el punto   
x \, = \, a
, si existe, es el valor del limite:



\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</pre>
<p>.


Si este limite es un número real, la función   
\mathrm{f}
  es derivable en   
x \, = \, a
. Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función   
\mathrm{f}
  NO es derivable en   
x = a
.


La derivada de la función 
\mathrm{f}
en   
x = a
  se denota por   
\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre> \, a \,
</pre>
<p>\right)
.



\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre> \, a \,
</pre>
<p>\right)
= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</pre>
<p>.


Ejemplo 1


Calculemos la derivada de   
\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre> \, x \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, x^2 
  en   
x \, = \, 2
:



\mathrm{f}^\prime
\left(
</p>
<pre>  \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
</pre>
<p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,



\, = \, \lim_{h \to 0}
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
\left(
</p>
<pre>  \, h \, + 4 \, \,
\right)
\, = \, 4
</pre>
<p>


Ejemplo 2


La función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|
  NO es derivable en   
x = 0
  ya que no existe el limite


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h}
</pre>
<p>

No existe por que


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
</p>
<pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
</pre>
<p>

y por que


\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 =
\lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}


es decir, los dos limites laterales son distintos.


   
 
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