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Desarrollo de un determinante

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 190.20.237.57 (Talk); a la última edición de 85.56.5.249)
(Desarrollo de un determinante)
Línea 271: Línea 271:
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
El determinante de una matriz cuadrada de orden &nbsp; <math> n </math> &nbsp; es igual a la suma de los productos de los elementos
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente:
-
<center>
+
<
-
<math>
+
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\makebox{det} \left( \, A \, \right) \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
==Ejercicios resueltos==
==Ejercicios resueltos==

Revisión de 00:27 17 may 2010

En esta sección se explica un procedimiento que nos permite calcular determinantes de cualquier orden, pero antes hemos de introducir los conceptos de menor complementario, adjunto y matriz adjunta.


Tabla de contenidos

Menor complementario


Para una matriz cuadrada de orden   
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
  se llama menor complementario del elemento   
a_{ij},
  y lo representamos por   
\alpha_{ij},
  al determinante de la matriz cuadrada de orden   
n - 1
  que resulta de suprimir la fila   
i
  y la columna   
j
  de la matriz   
A


Ejemplo


Los menores complementarios de la matriz



A =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
   1 & 2 & 3
   \\
   4 & 5 & 6 
   \\
   7 & 8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


son



\begin{array}{ccc}
\alpha_{11} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   5 & 6
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|= -3
&  
\qquad \alpha_{12} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 6
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right|= -6
& 
\qquad \alpha_{13} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   4 & 5
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
= -3
\\
&  & 
\\
\alpha_{21} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   8 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = -6
& 
\qquad \alpha_{22} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   7 & 9
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = -12
& 
\qquad \alpha_{23} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   7 & 8
 \end{array}
</pre>
<p>\right| = -6
\end{array}



\begin{array}[c]{ccc}
\alpha_{31} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   2 & 3
   \\
   5 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|=-3
& 
\qquad \alpha_{32} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 3
   \\
   4 & 6
 \end{array}
</pre>
<p>\right|=-6
& 
\qquad \alpha_{33} =
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & 2
   \\
   4 & 5
 \end{array}
</pre>
<p>\right|=-3
\end{array}


Matriz adjunta


Para una matriz cuadrada de orden   
n, \, A = \left( \, a_{ij} \, \right),
  se llama adjunto del elemento   
a_{ij},
  y lo representamos por   
A_{ij},
  al producto   
\left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}
,   es decir:



A_{ij} = \left( \, -1 \, \right)^{i + j} \cdot \alpha_{ij}


La matriz cuyos elementos son los adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada   
A
  se llama matriz adjunta de   
A
  y se denota por   
\makebox{Adj} \left( A \right)
 


Ejemplo


Los adjuntos de la matriz   
A
  del ejemplo anterior son:



\begin{array}{ccccccccccc}
A_{11} & = & -3  & \qquad & A_{12} & = & ~~~6 & \qquad & A_{13} & = & -3\\
A_{21} & = & ~~6 & \qquad & A_{22} & = & -12  & \qquad & A_{23} & = & ~~6\\
A_{31} & = & -3 & \qquad & A_{32} & = & ~~~6 & \qquad & A_{33} & = & -3\end{array}


La matriz adjunta de   
A
  es



\makebox{Adj} \left( A \right) =
\left(
</p>
<pre> \begin{array}{ccc}
</pre>
<p>-3 & ~~~6 & -3
\\
~~6 & -12 & ~~6
\\
-3 & ~~~6 & -3
\end{array}
\right)


Desarrollo de un determinante


El determinante de una matriz cuadrada de orden    n   es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Simbolicamente: <

Ejercicios resueltos


Calcular un determinante 4x4
Desarrollo de un determinante utilizando sus propiedades generales

   
 
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