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Discontinuidades

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(Diferencias entre revisiones)
Línea 42: Línea 42:
\frac{x^2 \, - \, 1}{x \, + \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1
\frac{x^2 \, - \, 1}{x \, + \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1
\\
\\
-
0 & , & \qquad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
+
2 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
\end{array}
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x \, = \, 1
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\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0
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\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
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x \, = \, 1
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&nbsp; es evitable.
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Una función presenta una '''''discontinuidad de primera especie''''' en el punto &nbsp;
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x \, = \, x_0
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x \, = \, 1
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&nbsp; no existe, al ser ambos limites laterales distintos:
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Como ambos limites laterales existen la discontinuidad que &nbsp;
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&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
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x \, = \, 1
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&nbsp; es de primera especie.
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Una función &nbsp;
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f
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&nbsp; presenta una '''''discontinuidad de segunda especie''''' en el punto &nbsp;
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x \, = \, x_0
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&nbsp; si no existe alguno de los limites laterales de &nbsp;
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f
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&nbsp; en dicho punto.
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==Ejemplo==
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La función &nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; definida por:
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
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\left\{
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\frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad 0 \ge x
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\\
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1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0
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\end{array}
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no es continua en el punto &nbsp;
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x \, = \, 0
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&nbsp; porque &nbsp;
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\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; no existe, al no existir el limite por la izquierda de &nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; cuando &nbsp;
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x \to 0
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Como este limite por la izquierda no existe&nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
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x \, = \, 1
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&nbsp; una discontinuidad de segunda especie.
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 14:35 11 ene 2007

Una función es discontinua en un punto   
x \, = \, x_0
  si   
\mathrm{f}
  no es continua en dicho punto.


Una función   
\mathrm{f}
  tiene una discontinuidad evitable en un punto   
x \, = \, x_0
  cuando existe el limite de la función en dicho punto.


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, + \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1
   \\
   2 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en el punto   
x \, = \, 1
  porque   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 0
  mientras que   
\mathrm{f} \left( \, 1  \, \right) \, = \, 2
, es decir:



\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, \neq \,
\mathrm{f} \left( \, 1  \, \right)


Como   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
  existe, la discontinuidad que   
\mathrm{f} 
  tiene en el punto   
x \, = \, 1
  es evitable.


Una función presenta una discontinuidad de primera especie en el punto   
x \, = \, x_0
  si los limites laterales de   
f
  en   
x \, = \, x_0
  existen pero son distintos, es decir:



\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, \neq \,
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad  1 \ge x
   \\
   x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en el punto   
x \, = \, 1
  porque   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
  no existe, al ser ambos limites laterales distintos:



\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 0



\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 2


Como ambos limites laterales existen la discontinuidad que   
\mathrm{f} 
  tiene en el punto   
x \, = \, 1
  es de primera especie.


Una función   
f
  presenta una discontinuidad de segunda especie en el punto   
x \, = \, x_0
  si no existe alguno de los limites laterales de   
f
  en dicho punto.


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad  0 \ge x
   \\
   1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en el punto   
x \, = \, 0
  porque   
\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
  no existe, al no existir el limite por la izquierda de   
\mathrm{f} 
  cuando   
x \to 0
:



\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, -\infty


Como este limite por la izquierda no existe  
\mathrm{f} 
  tiene en el punto   
x \, = \, 1
  una discontinuidad de segunda especie.


   
 
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