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Discontinuidades

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Definición


Una función es discontinua en un punto   
x \, = \, x_0
  si   
\mathrm{f}
  no es continua en dicho punto.


Tipos de discontinuidades


Discontinuidad evitable


Una función   
\mathrm{f}
  tiene una discontinuidad evitable en un punto   
x \, = \, x_0
  cuando existe el limite de la función en dicho punto.


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, - \, 1} & , &
   \quad \makebox{si}\quad x \neq 1
   \\
   3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en el punto   
x \, = \, 1
  porque   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 2
  mientras que   
\mathrm{f} \left( \, 1  \, \right) \, = \, 3
, es decir:



\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, \neq \,
\mathrm{f} \left( \, 1  \, \right)


Como   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
  existe, la discontinuidad que   
\mathrm{f} 
  tiene en el punto   
x \, = \, 1
  es evitable.


Discontinuidad de primera especie


Una función presenta una discontinuidad de primera especie en el punto   
x \, = \, x_0
  si los limites laterales de   
f
  en   
x \, = \, x_0
  existen pero son distintos, es decir:



\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, \neq \,
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad  1 \ge x
   \\
   x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en el punto   
x \, = \, 1
  porque   
\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
  no existe, al ser ambos limites laterales distintos:



\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 0



\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 2


Como ambos limites laterales existen, la discontinuidad que   
\mathrm{f} 
  tiene en el punto   
x \, = \, 1
  es de primera especie.


Discontinuidad de segunda especie


Una función   
f
  presenta una discontinuidad de segunda especie en el punto   
x \, = \, x_0
  si no existe alguno de los limites laterales de   
f
  en dicho punto.


Ejemplo


La función   
\mathrm{f}
  definida por:



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   \frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad  0 \ge x
   \\
   1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


no es continua en el punto   
x \, = \, 0
  porque   
\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) 
  no existe, al no existir el limite por la izquierda de   
\mathrm{f} 
  cuando   
x \to 0
:



\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, -\infty


Como este limite por la izquierda no existe  
\mathrm{f} 
, tiene en el punto   
x \, = \, 0
  una discontinuidad de segunda especie.


   
 
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