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Distribuciones discretas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (22:38 12 ene 2007) (editar) (deshacer)
(Definición)
 
(17 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 20: Línea 20:
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<br/>
-
Se llama '''''función de probabilidad de una variable aleatoria discreta &nbsp;
+
Se llama '''''función de probabilidad de una variable aleatoria discreta''''' &nbsp;
<math>
<math>
X
X
</math>
</math>
-
''''' a la aplicacion que a cada valor de &nbsp;
+
&nbsp; a la aplicacion que a cada valor de &nbsp;
<math>
<math>
x_i
x_i
Línea 107: Línea 107:
\right)
\right)
\, = \, \frac{3}{8}
\, = \, \frac{3}{8}
 +
\qquad
\\
\\
&
&
Línea 120: Línea 121:
\, X \, = \, 3 \,
\, X \, = \, 3 \,
\right)
\right)
-
\, = \, \frac{1}{8}
+
\, = \, \frac{1}{8} \qquad
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Línea 132: Línea 133:
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1
</math>
</math>
 +
 +
<br/>
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 +
==Función de distribución==
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<br/>
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Dada una variable aleatoria discreta &nbsp;
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<math>
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X
 +
</math>
 +
, su '''''función de distribución''''' es la aplicación que a cada valor de &nbsp;
 +
<math>
 +
x_i
 +
</math>
 +
&nbsp; de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o
 +
iguales que &nbsp;
 +
<math>
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x_i
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</math>
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, y la denotamos por:
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<br/>
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<center>
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\mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \, = \, \mathrm{P}
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\left(
 +
\, X \le x_i \,
 +
\right)
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</math>
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</center>
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<br/>
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La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguientes
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caracteristicas:
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<br/>
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1. Al ser una probabilidad, &nbsp;
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<math>
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1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i \, \right) \ge 0
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</math>
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.
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2. &nbsp;
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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</math>
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&nbsp; es nula para todo valor de &nbsp;
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x
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</math>
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&nbsp; menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a uno para
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todo valor de &nbsp;
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x
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</math>
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&nbsp; mayor que el mayor valor de la variable.
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3. &nbsp;
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es creciente.
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4. &nbsp;
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
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&nbsp; es constante en cada intervalo &nbsp;
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<math>
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\left(
 +
\, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \,
 +
\right)
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</math>
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, además es continua a la derecha de &nbsp;
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<math>
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x_i
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</math>
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&nbsp; y a la izquierda &nbsp;
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x_{i \, + \, 1}
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</math>
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, y discontinua a la izquierda de &nbsp;
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<math>
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x_i
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</math>
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&nbsp; y a la derecha de &nbsp;
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<math>
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x_{i+1}
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, para &nbsp;
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i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1
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5. Sea &nbsp;
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x_j > x_i
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, entonces &nbsp;
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\mathrm{F}
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\left(
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\, x_j \,
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\right)
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\, - \,
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\mathrm{F}
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\left(
 +
\, x_i \,
 +
\right)
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\, = \,
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\mathrm{P}
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\left(
 +
\, x_j \ge X > x_i \,
 +
\right)
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</math>
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<br/>
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==Distribución binomial==
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<br/>
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===Definición===
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<br/>
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Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:
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<br/>
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1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso &nbsp; <math> A </math> , llamado
 +
''exito'', y su contrario, &nbsp; <math> \bar{A} </math>, llamado ''fracaso''.
 +
 +
2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
 +
 +
3. La probabilidad de &nbsp; <math> A </math> , que denotamos por &nbsp; <math> p
 +
</math> , no varía de una prueba a otra.
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 +
4. En cada experimento se realizan &nbsp; <math> n </math> &nbsp; pruebas idénticas.
 +
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<br/>
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 +
Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la
 +
distribución binomial.
 +
 +
A la variable &nbsp;
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<math>
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X
 +
</math>
 +
, que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le
 +
llama '''''variable aleatoria binomial'''''.
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<br/>
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Existen varias maneras de obtener &nbsp;
 +
<math>
 +
r
 +
</math>
 +
&nbsp; exitos en las &nbsp;
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<math>
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n
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</math>
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&nbsp; pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda &nbsp;
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<math>
 +
n \, = \, 3
 +
</math>
 +
&nbsp; veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras": &nbsp;
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right\}
 +
</math>
 +
. ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra &nbsp;
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right\}
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</math>:
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<center>
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<math>
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\begin{array}[c]{cc}
 +
1^\circ: & \bar{A}AA
 +
\\
 +
2^\circ: & A\bar{A}A
 +
\\
 +
3^\circ: & AA\bar{A}
 +
\end{array}
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</math>
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</center>
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<br/>
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 +
La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que
 +
ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el
 +
segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.
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Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:
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<br/>
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\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, \bar{A}AA \,
 +
\right)
 +
\, + \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A\bar{A}A \,
 +
\right)
 +
\, + \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, AA\bar{A} \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
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<br/>
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Por otra parte, &nbsp;
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<math>
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\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, \bar{A}AA \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, A\bar{A}A \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, AA\bar{A} \,
 +
\right)
 +
\, = \, p^2 \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
. Por ejemplo:
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<br/>
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<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, AA\bar{A}
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A \, \right)
 +
\cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \,
 +
p \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son
 +
independientes.
 +
 +
<br/>
 +
 +
Así
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 2 \,
 +
\right)
 +
\, = \, 3 \cdot p^2 \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
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En general:
 +
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<br/>
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<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, r \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\left(
 +
\, { n \atop r }
 +
\right)
 +
\cdot p^r \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
^
 +
\left(
 +
\, n \, - \, r \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
</center>
 +
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<br/>
 +
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donde
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<br/>
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<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
{ n \atop r }
 +
\right)
 +
\, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r \, \right)!}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
es el número de sucesos elementales que componen el suceso &nbsp;
 +
<math>
 +
\left\{
 +
\, X \, = \, r \,
 +
\right\}
 +
</math>
 +
&nbsp; ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de
 +
fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).
 +
 +
<br/>
 +
 +
<math>
 +
p^r \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, p \,
 +
\right)
 +
^
 +
\left(
 +
\, n \, - \, r \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.
 +
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<br/>
 +
 +
Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas
 +
una función de probabilidad y una función de distribución.
 +
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<br/>
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 +
NOTA: &nbsp;
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<math>
 +
n!
 +
</math>
 +
&nbsp; es el factorial de &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1 \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1
 +
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
===Ejemplo===
 +
 +
<br/>
 +
 +
¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?
 +
 +
<br/>
 +
 +
En este caso el experimento aleatorio consiste de &nbsp;
 +
<math>
 +
n \, = \, 5
 +
</math>
 +
&nbsp; "pruebas". Cada una de estas pruebas
 +
es el nacimiento de un hijo. Supongamos que la probabilidad de que un hijo sea chico es
 +
de &nbsp;
 +
<math>
 +
p \, = \, 0,5
 +
</math>
 +
. Entonces, si &nbsp;
 +
<math>
 +
X
 +
</math>
 +
&nbsp; es el numero de hijos varones, se tiene que:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
\left(
 +
\, X \, = \, 3 \,
 +
\right)
 +
\, = \,
 +
\left(
 +
{ 5 \atop 3 }
 +
\right)
 +
\cdot 0,5^3 \cdot
 +
\left(
 +
\, 1 \, - \, 0,5 \,
 +
\right)
 +
^
 +
{
 +
\left(
 +
\, 5 \, - \, 3 \,
 +
\right)
 +
}
 +
\, = \, \frac{5!}{3!2!} \cdot 0,5^5 \, = \, 10 \cdot 0,5^5
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Función de probabilidad


Denotaremos como   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre>  \, X \, = \, x_i \,
</pre>
<p>\right)
  a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor   
x_i
.


Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta   
X
  a la aplicacion que a cada valor de   
x_i
  de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:



\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre>  \, x_i \,
\right)
\, = \,
\mathrm{P}
\left(
   \, X \, = \, x_i \,
\right)
</pre>
<p>


Por definición, deducimos que si   
\left\{
</p>
<pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, 
</pre>
<p>\right\}
  son los valores que puede tomar la variable   
X
, entonces:



\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i  \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \,
</p>
<pre> x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \,
</pre>
<p>\ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1


ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.


Ejemplo


En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación   
X
  que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:



\begin{array}[c]{cc}
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
</p>
<pre>\left(
  \, X \, = \, 0 \,
\right)
\, = \, \frac{1}{8} \qquad
&
\mathrm{f}
\left(
  \, 1 \,
\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 1 \,
\right)
\, = \, \frac{3}{8}
\qquad 
\\
& 
\\
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 2 \,
\right)
\, = \, \frac{3}{8} \qquad
&
\mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 3 \,
\right)
\, = \, \frac{1}{8} \qquad 
</pre>
<p>\end{array}


Observa que   
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, 
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1


Función de distribución


Dada una variable aleatoria discreta   
X
, su función de distribución es la aplicación que a cada valor de   
x_i
  de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que   
x_i
, y la denotamos por:



\mathrm{F} \left( \, x_i  \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre>  \, X \le x_i \,
</pre>
<p>\right)


La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguientes caracteristicas:


1. Al ser una probabilidad,   
1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i  \, \right) \ge 0
.


2.   
\mathrm{F} \left( \, x  \, \right)
  es nula para todo valor de   
x
  menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a uno para todo valor de   
x
  mayor que el mayor valor de la variable.


3.   
\mathrm{F} \left( \, x  \, \right)
  es creciente.


4.   
\mathrm{F} \left( \, x  \, \right)
  es constante en cada intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \,
</pre>
<p>\right)
, además es continua a la derecha de   
x_i
  y a la izquierda   
x_{i \, + \, 1}
, y discontinua a la izquierda de   
x_i
  y a la derecha de   
x_{i+1}
, para   
i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1


5. Sea   
x_j > x_i
, entonces   
\mathrm{F}
\left(
</p>
<pre>  \, x_j \,
\right)
\, - \,
\mathrm{F}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, x_i \,
\right)
\, = \,
\mathrm{P}
\left(
   \, x_j \ge X > x_i \,
\right)
</pre>
<p>


Distribución binomial


Definición


Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:


1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso    A  , llamado
exito, y su contrario,    \bar{A} , llamado fracaso.

2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

3. La probabilidad de    A  , que denotamos por    p
 , no varía de una prueba a otra.

4. En cada experimento se realizan    n    pruebas idénticas.


Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable   
X
, que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial.


Existen varias maneras de obtener   
r
  exitos en las   
n
  pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda   
n \, = \, 3
  veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras":   
\left\{
</p>
<pre>  \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right\}
. ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra   
\left\{
</p>
<pre> \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right\}
:



\begin{array}[c]{cc}
</p>
<pre> 1^\circ: & \bar{A}AA
 \\
 2^\circ: & A\bar{A}A
 \\
 3^\circ: & AA\bar{A}
</pre>
<p>\end{array}


La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.


Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre>  \, \bar{A}AA \,
\right)
\, + \, \mathrm{P}
\left(
   \, A\bar{A}A \,
 \right)
\, + \, \mathrm{P}
\left(
   \, AA\bar{A} \,
\right)
</pre>
<p>


Por otra parte,   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, \bar{A}AA \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A\bar{A}A \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, AA\bar{A} \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, p^2 \cdot
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)
. Por ejemplo:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, AA\bar{A}
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P} \left( \, A  \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A  \, \right)
\cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \,
</p>
<pre> p  \, \right)
</pre>
<p>


donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son independientes.


Así



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 3 \cdot  p^2 \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)


En general:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, r \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, { n \atop r }
</pre>
<p>\right)
\cdot p^r \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)
^
\left(
</p>
<pre> \, n \, - \, r \,
</pre>
<p>\right)


donde



\left(
</p>
<pre> { n \atop r }
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r  \, \right)!}


es el número de sucesos elementales que componen el suceso   
\left\{
</p>
<pre>  \, X \, = \, r \,
</pre>
<p>\right\}
  ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).



p^r \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)
^
\left(
</p>
<pre> \, n \, - \, r \,
</pre>
<p>\right)
  es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.


Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.


NOTA:   
n!
  es el factorial de   
n
,   
n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1  \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1


Ejemplo


¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?


En este caso el experimento aleatorio consiste de   
n \, = \, 5
  "pruebas". Cada una de estas pruebas es el nacimiento de un hijo. Supongamos que la probabilidad de que un hijo sea chico es de   
p \, = \, 0,5
. Entonces, si   
X
  es el numero de hijos varones, se tiene que:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, 3 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> { 5 \atop 3 }
</pre>
<p>\right)
\cdot 0,5^3 \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, 0,5 \,
</pre>
<p>\right)
^
{
</p>
<pre> \left(
   \, 5 \, - \, 3 \,
 \right)
</pre>
<p>}
\, = \, \frac{5!}{3!2!} \cdot 0,5^5 \, = \, 10 \cdot 0,5^5


   
 
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