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Distribuciones discretas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:13 26 dic 2006

Se llama variable aleatoria a toda aplicación   
X
  del espacio muestral   
E
  en un subconjunto de los numeros reales:



X: \, E l9 R


Al conjunto de valores de   
R
  asignados a los elementos de   
E
  se le llama recorrido de la variable aleatoria y se representa por   
X
\left(
</p>
<pre> \, E \,
</pre>
<p>\right)
.


Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde al resultado de un experimento aleatorio, como la suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados, el número de lanzamientos de un dado hasta que aparece el cuatro, el número de personas que suben en un determinado ascensor al mes, el tiempo de espera en la sala de un doctor...


Las variables aleatorias discretas son aquellas que pueden tomar solamente un número finitio o un número infinito numerable de valores.


A este nivel, las unicas variables aleatorias que consideraremos son aquellas que toman un número finito de valores. Un ejemplo de este tipo de variable aleatoria seria el resultado de lanzar un dado.


Las variables aleatorias continuas son aquellas que pueden tomar cualquier valor en un intervalo de la recta real. Un ejemplo de este tipo de variable aleatoria seria la altura de una persona.

%% }}} %% {{{ =distribuciones discretas

Tabla de contenidos


Función de probabilidad


Denotaremos como   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre>  \, X \, = \, x_i \,
</pre>
<p>\right)
  a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor   
x_i
.


Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta   
X
a la aplicacion que a cada valor de   
x_i
  de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor, y la expresamos como:



\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre>  \, x_i \,
\right)
\, = \,
\mathrm{P}
\left(
   \, X \, = \, x_i\,
\right)
</pre>
<p>


Por definición, deducimos que si   
\left\{
</p>
<pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, 
</pre>
<p>\right\}
  son los valores que puede tomar la variable   
X
, entonces:



\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i  \, \right) \, = \, x_1 \, + \, x_2 \, + \,
l1 \, + \, x_n


ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.


Ejemplo


En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación que asigna a cada resultado el numero   
X
  de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:



\begin{array}[c]{cc}
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
</p>
<pre>\left(
  \, X \, = \, 0 \,
\right)
\, = \, \frac{1}{8}
&
\mathrm{f}
\left(
  \, 1 \,
\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 0 \,
\right)
\, = \, \frac{3}{8}
\\
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 0 \,
\right)
\, = \, \frac{3}{8}
&
\mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 0 \,
\right)
\, = \, \frac{1}{8}
</pre>
<p>\end{array}


Observa que   
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, 
</p>
<pre>\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1
</pre>
<p>  

   
 
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