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Distribuciones discretas

De Wikillerato

Tabla de contenidos


Función de probabilidad


Denotaremos como   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre>  \, X \, = \, x_i \,
</pre>
<p>\right)
  a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor   
x_i
.


Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta   
X
  a la aplicacion que a cada valor de   
x_i
  de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:



\mathrm{f}
\left(
</p>
<pre>  \, x_i \,
\right)
\, = \,
\mathrm{P}
\left(
   \, X \, = \, x_i \,
\right)
</pre>
<p>


Por definición, deducimos que si   
\left\{
</p>
<pre> \, x_1, \, x_2, \ldots, \, x_n \, 
</pre>
<p>\right\}
  son los valores que puede tomar la variable   
X
, entonces:



\sum_{i \, = \, 1}^n \mathrm{f} \left( \, x_i  \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \,
</p>
<pre> x_1 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) \, + \,
</pre>
<p>\ldots \, + \, \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, 1


ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.


Ejemplo


En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación   
X
  que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:



\begin{array}[c]{cc}
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
</p>
<pre>\left(
  \, X \, = \, 0 \,
\right)
\, = \, \frac{1}{8} \qquad
&
\mathrm{f}
\left(
  \, 1 \,
\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 1 \,
\right)
\, = \, \frac{3}{8}
\qquad 
\\
& 
\\
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 2 \,
\right)
\, = \, \frac{3}{8} \qquad
&
\mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
  \, X \, = \, 3 \,
\right)
\, = \, \frac{1}{8} \qquad 
</pre>
<p>\end{array}


Observa que   
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, + \, 
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right) \, + \, \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) \, = \, 1


Función de distribución


Dada una variable aleatoria discreta   
X
, su función de distribución es la aplicación que a cada valor de   
x_i
  de la variable le asigna la probabilidad de que ésta tome valores menores o iguales que   
x_i
, y la denotamos por:



\mathrm{F} \left( \, x_i  \, \right) \, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre>  \, X \le x_i \,
</pre>
<p>\right)


La función de distribución de cualquier variable aleatoria discreta tiene las siguientes caracteristicas:


1. Al ser una probabilidad,   
1 \ge \mathrm{F} \left( \, x_i  \, \right) \ge 0
.


2.   
\mathrm{F} \left( \, x  \, \right)
  es nula para todo valor de   
x
  menor que el menor valor de la variable aleatoria, y es igual a uno para todo valor de   
x
  mayor que el mayor valor de la variable.


3.   
\mathrm{F} \left( \, x  \, \right)
  es creciente.


4.   
\mathrm{F} \left( \, x  \, \right)
  es constante en cada intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, x_i, \, x_{i \, + \, 1} \,
</pre>
<p>\right)
, además es continua a la derecha de   
x_i
  y a la izquierda   
x_{i \, + \, 1}
, y discontinua a la izquierda de   
x_i
  y a la derecha de   
x_{i+1}
, para   
i \, = \, 1, \, \ldots, \, n \, - \, 1


5. Sea   
x_j > x_i
, entonces   
\mathrm{F}
\left(
</p>
<pre>  \, x_j \,
\right)
\, - \,
\mathrm{F}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, x_i \,
\right)
\, = \,
\mathrm{P}
\left(
   \, x_j \ge X > x_i \,
\right)
</pre>
<p>


Distribución binomial


Definición


Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caracteristicas:


1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso    A  , llamado
exito, y su contrario,    \bar{A} , llamado fracaso.

2. El resultado de cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

3. La probabilidad de    A  , que denotamos por    p
 , no varía de una prueba a otra.

4. En cada experimento se realizan    n    pruebas idénticas.


Todo experimento aleatorio con estas características se dice que sigue el modelo de la distribución binomial.

A la variable   
X
, que representa el número de éxitos obtenidos en el experimento, se le llama variable aleatoria binomial.


Existen varias maneras de obtener   
r
  exitos en las   
n
  pruebas. Supongamos que lanzamos una moneda   
n \, = \, 3
  veces y calculemos la probabilidad del suceso "obtener 2 caras":   
\left\{
</p>
<pre>  \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right\}
. ( Aqui el exito es que salga cara ). Existen tres posibilidades de que ocurra   
\left\{
</p>
<pre> \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right\}
:



\begin{array}[c]{cc}
</p>
<pre> 1^\circ: & \bar{A}AA
 \\
 2^\circ: & A\bar{A}A
 \\
 3^\circ: & AA\bar{A}
</pre>
<p>\end{array}


La diferencia entre estas tres posibilidades ( sucesos elementales ) es la prueba en que ocurre el fracaso. En el primer caso, el fracaso ocurre en la primera prueba; en el segundo caso ocurre en la segunda y en el tercer caso ocurre en la tercera.


Como estos sucesos son incompatibles, se tiene que:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre>  \, \bar{A}AA \,
\right)
\, + \, \mathrm{P}
\left(
   \, A\bar{A}A \,
 \right)
\, + \, \mathrm{P}
\left(
   \, AA\bar{A} \,
\right)
</pre>
<p>


Por otra parte,   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, \bar{A}AA \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A\bar{A}A \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, AA\bar{A} \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, p^2 \cdot
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)
. Por ejemplo:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, AA\bar{A}
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P} \left( \, A  \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A  \, \right)
\cdot \mathrm{P} \left( \, \bar{A} \, \right) \, = \, p \cdot p \cdot \left( \, 1 \, - \,
</p>
<pre> p  \, \right)
</pre>
<p>


donde la primera igualdad es cierta porque los resultados de las tres pruebas son independientes.


Así



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, 2 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 3 \cdot  p^2 \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)


En general:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, r \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> \, { n \atop r }
</pre>
<p>\right)
\cdot p^r \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)
^
\left(
</p>
<pre> \, n \, - \, r \,
</pre>
<p>\right)


donde



\left(
</p>
<pre> { n \atop r }
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac{n!}{r!\left( \, n \, - \, r  \, \right)!}


es el número de sucesos elementales que componen el suceso   
\left\{
</p>
<pre>  \, X \, = \, r \,
</pre>
<p>\right\}
  ( estos sucesos elementales tienen en comun un mismo número de exitos y de fracasos y solo se diferencian en el orden en que ocurren los exitos y los fracasos ).



p^r \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, p \,
</pre>
<p>\right)
^
\left(
</p>
<pre> \, n \, - \, r \,
</pre>
<p>\right)
  es la probabilidad de cada uno de estos sucesos elementales.


Al ser la variable aleatoria binomial una variable aleatoria discreta, tiene asociadas una función de probabilidad y una función de distribución.


NOTA:   
n!
  es el factorial de   
n
,   
n! \, = \, n \cdot \left( \,n \, - \, 1  \, \right) \cdot \ldots 2 \cdot 1


Ejemplo


¿Cual es la probabilidad de que en una familia con 5 hijos, 3 sean chicos y 2 chicas?


En este caso el experimento aleatorio consiste de   
n \, = \, 5
  "pruebas". Cada una de estas pruebas es el nacimiento de un hijo. Supongomos que la probabilidad de que un hijo sea chico es de   
p \, = \, 5
. Entonces, si   
X
  es el numero de hijos varones, entonces:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, X \, = \, 3 \,
</pre>
<p>\right)
\, = \,
\left(
</p>
<pre> { 5 \atop 3 }
</pre>
<p>\right)
\cdot 0,5^3 \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 1 \, - \, 0,5 \,
</pre>
<p>\right)
^
{
</p>
<pre> \left(
   \, 5 \, - \, 3 \,
 \right)
</pre>
<p>}
\, = \, \frac{5!}{3!2!} \cdot 0,5^5 \, = \, 10 \cdot 0,5^5


   
 
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