Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Elipse

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:57 10 dic 2010) (editar) (deshacer)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 187.134.156.233 (Talk); a la última edición de Laura.2mdc)
 
(23 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
 +
__TOC__
 +
==Definición==
==Definición==
Línea 9: Línea 11:
Llamamos '''''elipse''''' al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
Llamamos '''''elipse''''' al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
-
distancias a dos puntos fijos del plano,  
+
distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a,  
<math>
<math>
F1
F1
Línea 17: Línea 19:
F2
F2
</math>
</math>
-
, es constante. Veamos los elementos en el siguiente dibujo
+
, es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos:
<br/>
<br/>
Línea 138: Línea 140:
<br/>
<br/>
-
En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin
+
----
-
para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta
+
 
-
distancia y esta utilizando una cuerda unida por sus extremos: tensa la cuerda con las
+
<br/>
-
dos estacas y una vara que sujeta. El jardinero dibuja la elipse creando un surco con la
+
 
-
vara mientras se asegura que la cuerda siempre forma un triangulo:
+
Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos &nbsp;
 +
<math>
 +
C
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
B
 +
</math>
 +
&nbsp; y el centro de la elipse, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
a^2 \, = \, b^2 \, + \, c^2
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
----
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La '''''excentricidad''''' de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está
 +
determinado por la expresión:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
e \, = \, \frac{c}{a}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse.
 +
En una elipse &nbsp;
 +
<math>
 +
a > c > 0
 +
</math>
 +
&nbsp; y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una
 +
persona?
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin
 +
para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta
 +
distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa la
 +
cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creando
 +
un surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:
<br/>
<br/>
Línea 156: Línea 213:
<br/>
<br/>
-
Supongamos que el origen delenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal
+
Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal
coincide con el eje &nbsp;
coincide con el eje &nbsp;
<math>
<math>
Línea 181: Línea 238:
<br/>
<br/>
-
La condición que ;a suma de la distancias de un punto cuaquiera de la elipse, &nbsp;
+
La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse, &nbsp;
<math>
<math>
P \, = \,
P \, = \,
Línea 188: Línea 245:
\right)
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp;
+
, a los focos es &nbsp;
-
a los focos es &nbsp;
+
<math>
<math>
2a
2a
Línea 218: Línea 274:
</center>
</center>
-
<br/
+
<br/>
Igualdad que es equivalente a esta otra:
Igualdad que es equivalente a esta otra:
Línea 233: Línea 289:
que constituye la ecuación reducida de la elipse.
que constituye la ecuación reducida de la elipse.
-
 
-
Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos &nbsp;
 
-
<math>
 
-
C
 
-
</math>
 
-
, &nbsp;
 
-
<math>
 
-
B
 
-
</math>
 
-
&nbsp; y al centro, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:
 
<br/>
<br/>
-
<center>
+
==Ejemplo==
-
<math>
+
-
a^2 \, = \, b^2 \, + \, c^2
+
-
</math>
+
-
</center>
+
<br/>
<br/>
-
La '''''excentricidad''''' de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está
+
Un circunferencia se puede considerar como un caso especial de elipse. Una circunferencia
-
determinado por la expresión:
+
seria una elipse en el que los dos focos y el centro de la elipse coinciden. En una
-
 
+
circunferencia &nbsp;
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
-
e \, = \, \frac{c}{a}
+
c = 0
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.
<br/>
<br/>
-
¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una
 
-
persona? Quizas la relación este en que el circulo es lo "normal", mientras que el que no
 
-
sea normal es excentrico.
 
-
==Ejemplo==
+
== Referencias ==
 +
# ''[http://www.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htm Cónicas: Ecuaciones de la circunferencia y la elipse]'', Pilar Ferrero Casado. Matemáticas: ESO, Bachillerato y Selectividad.
-
<br/>
+
# ''[http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/conicas.htm Cónicas: Webs dinámicas con GeoGebra]'', Manuel Sada Allo
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos


Definición


Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.


Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a,   
F1
  y   
F2
, es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos:


Imagen:elipse2.png




Imagen:elipse4.png


Los puntos fijos   
F1
  y   
F2
  se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.


Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento   
\overline{F1F2}
. El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.


Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos,   
A
,   
B
,   
C
  y   
D
  que reciben el nombre de vértices .


La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por   
2c
. La mitad de esta distancia,   
c
, es la semidistancia focal.


Para cualquier punto   
P
  de la elipse, se verifica que   
\overline{PF1} \, + \, \overline{PF2}
  es constante. Llamamos a esta constante   
2a
.


El segmento   
\overline{AB}
  es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es   
2a
. La mitad de esta distancia,   
a
, se denomina semieje mayor.


El segmento   
\overline{CD}
  es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por   
2b
. La mitad de esta distancia,   
b
, es el semieje menor.




Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos   
C
,   
B
  y el centro de la elipse, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:



a^2 \, = \, b^2 \, + \, c^2




La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:



e \, = \, \frac{c}{a}


Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse   
a > c > 0
  y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.


¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona?


En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin
para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta
distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa la
cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creando
un surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:


Imagen:elipseDeJardinero.jpg


Ecuación


Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje   
X
, entonces los focos son:



F1 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, -c, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)
\qquad \mathrm{y} \qquad
F2 \, = \,
\left(
</p>
<pre> \, c, \, 0 \,
</pre>
<p>\right)


La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse,   
P \, = \,
\left(
</p>
<pre>  \, x, \, y \,
</pre>
<p>\right)
, a los focos es   
2a
  se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:



\sqrt
{
</p>
<pre> \left(
   \, x \, + \, c \,
 \right)
 ^2 \, + \, y^2
</pre>
<p>}
\, + \,
\sqrt
{
</p>
<pre> \left(
   \, x \, - \, c \,
 \right)
 ^2 \, + \, y^2
</pre>
<p>}
\, = \, 2a


Igualdad que es equivalente a esta otra:



\frac{x^2}{a^2} \, + \, \frac{y^2}{b^2} \, = \, 1


que constituye la ecuación reducida de la elipse.


Ejemplo


Un circunferencia se puede considerar como un caso especial de elipse. Una circunferencia seria una elipse en el que los dos focos y el centro de la elipse coinciden. En una circunferencia   
c = 0
  y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.



Referencias

  1. Cónicas: Ecuaciones de la circunferencia y la elipse, Pilar Ferrero Casado. Matemáticas: ESO, Bachillerato y Selectividad.
  1. Cónicas: Webs dinámicas con GeoGebra, Manuel Sada Allo
   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.