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Elipse
De Wikillerato
Definición
Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.
Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos del plano,
y
, es constante. Veamos los elementos en el siguiente dibujo
Los puntos fijos
y
se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por
ellos.
Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento
. El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.
Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos,
,
,
y
que reciben el nombre de vértices .
La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por
. La mitad de esta distancia,
, es la semidistancia focal.
Para cualquier punto
de la elipse, se verifica que
es constante. Llamamos a esta constante
.
El segmento
es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es
. La mitad de esta distancia,
, se denomina semieje mayor.
El segmento
es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por
. La mitad de esta distancia,
, es el semieje menor.
En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta distancia y esta utilizando una cuerda unida por sus extremos: tensa la cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta. El jardinero dibuja la elipse creando un surco con la vara mientras se asegura que la cuerda siempre forma un triangulo:
Ecuación
Supongamos que el origen delenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal
coincide con el eje
, entonces los focos son:
La condición que ;a suma de la distancias de un punto cuaquiera de la elipse,
a los focos es
se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:
<br/
Igualdad que es equivalente a esta otra:
que constituye la ecuación reducida de la elipse.
Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos
,
y al centro, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:
La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:
¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona? Quizas la relación este en que el circulo es lo "normal", mientras que el que no sea normal es excentrico.
Ejemplo
