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Funciones acotadas

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Revisión de 11:59 31 jul 2010


Tabla de contenidos

Definición


Se dice que un conjunto 
A
de números reales esta acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un número real 
C
que es mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de 
A
.


A este n\'umero real se le llama cota superior ( inferior ). Si 
C
es una cota superior del conjunto 
A
, entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que 
C
es tambien una cota superior ( inferior ) de 
A

Ejemplo


El intervalo


\left[ \, 2, \, 9 \, \right) \subset \mathbb{R}

es un conjunto acotado superiormente porque


9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)

Tambien esta acotado inferiormente porque


x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)


Definición


Una función 
\mathrm{f}
esta acotada superiormente si su recorrido esta acotado superiormente, es decir, si existe un número 
C
tal que


C \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x 
en el dominio de 
\mathrm{f}

Analogamente, 
\mathrm{f}
esta acotada inferiormente si su recorrido esta acotado inferiormente, es decir, si existe un número 
c
  tal que


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge c, \, \forall x
en el dominio de 
\mathrm{f}

Una función acotada es aquella que esta acotada superior e inferiormente.


Ejemplo


El recorrido de la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
  es el intervalo cerrado   
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
.   Como este intervalo esta acotado, tanto superior como inferiormente, la función 
\mathrm{f}
esta acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función 
</p>
<pre>\mathrm{f}
</pre>
<p> esta acotada.


Propiedades


Propiedad 1


En la grafica de 
f
, el que 
f
este acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal ( paralela al eje 
X
), tal que ningun punto de la grafica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.


Propiedad 2


Una función 
\mathrm{f}
con una asintota vertical no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.


Mas concretamente:

  1. Si existe un número real


a
, tal que   
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
  o   
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
no esta acotada superiormente.

  1. Reciprocamente, si existe un número real


a
, tal que   
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
  o   
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
no esta acotada inferiormente.


Propiedad 3


Si   
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
  o   
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
NO esta acotada superiormente.


Si   
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
  o   
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
NO esta acotada inferiormente.


Ejemplo


La función


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}

tiene una asintota vertical de ecuación   
x = 0
.   Por lo tanto, la función 
\mathrm{f}
no esta acotada.


Para averiguar si esta acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:


\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

y


\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

El primero es   
-\infty
  y el segundo es   
\infty
.   Por lo tanto,   
\mathrm{f}
  no esta acotada ni superior, ni inferiormente.


Ejemplo



\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty

Por lo tanto,   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
  no esta acotada superiormente.


Ejemplo


Maximos y minimos


Un conjunto de números reales acotado superiormente 
A
tiene maximo si la menor de las cotas superiores de 
A
pertenece a 
A
. El maximo de 
A
sería, de existir, la menor de las cotas superiores de 
A
.


Ejemplo


El intervalo   
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
  esta acotado superiormente, pero no tiene maximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.


Ejemplo


El intervalo   
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right]
  esta acotado superiormente y tiene maximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.


Maximos y minimos absolutos de una función


Una función 
\mathrm{f}
se dice que alcanza el valor maximo en   
x_M
  y que dicho valor maximo es   
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right)
,   si


\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \,
\forall x 
  en el dominio de 
\mathrm{f}

Reciprocamente, 
\mathrm{f}
alcanza su valor minimo en   
x_m
  y su valor minimo es   
\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right)
,   si


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right), \,
\forall x 
  en el dominio de 
\mathrm{f}

Por lo tanto el valor maximo ( minimo ) que alcanza una función es el maximo ( minimo ) de su recorrido.


Si cuando


y_2 > y1

decimos que el "punto   
\left( \, x_2, \, y_2 \, \right)
  esta mas alto que el punto  
\left( \, x_1, \, y_1 \, \right)
", entonces el maximo absoluto de 
\mathrm{f}
corresponderia al punto mas "alto" de su grafíca y el minimo absoluto de 
\mathrm{f}
corresponderia al punto mas "bajo" de su grafíca.

 

   
 
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