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Funciones acotadas

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (14:14 10 jul 2012) (editar) (deshacer)
(Ejemplo)
 
(10 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 9: Línea 9:
A
A
</math>
</math>
-
de números reales esta acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un
+
de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un
número real
número real
<math>
<math>
Línea 22: Línea 22:
<br/>
<br/>
-
A este n\'umero real se le llama cota superior ( inferior ).
+
A este número real se le llama cota superior ( inferior ).
Si
Si
<math>
<math>
Línea 47: Línea 47:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left[ \, 2, \, 9 \, \right) \subset \mathbb{R}
+
\left[ \, 2, \, 9 \, \right] \subset \mathbb{R}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 53: Línea 53:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)
+
9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Tambien esta acotado inferiormente porque
+
Tambien está acotado inferiormente porque
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)
+
x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 73: Línea 73:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
esta acotada superiormente si su recorrido esta acotado superiormente, es decir,
+
está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir,
si existe un número
si existe un número
<math>
<math>
Línea 88: Línea 88:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Analogamente,
+
Análogamente,
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
esta acotada inferiormente si su recorrido esta acotado inferiormente, es decir,
+
está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir,
si existe un número
si existe un número
<math>
<math>
Línea 108: Línea 108:
</center>
</center>
-
Una función acotada es aquella que esta acotada superior e inferiormente.
+
Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.
<br/>
<br/>
Línea 124: Línea 124:
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
</math>.
</math>.
-
&nbsp; Como este intervalo esta acotado, tanto superior como inferiormente,
+
&nbsp; Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente,
la función
la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
esta acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función
+
está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
esta acotada.
+
está acotada.
<br/>
<br/>
Línea 145: Línea 145:
<br/>
<br/>
-
En la grafica de
+
En la gráfica de
<math>
<math>
f
f
Línea 153: Línea 153:
f
f
</math>
</math>
-
este acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal (
+
esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal (
paralela al eje
paralela al eje
<math>
<math>
X
X
</math>
</math>
-
), tal que ningun punto de la grafica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
+
), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
<br/>
<br/>
Línea 170: Línea 170:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
con una asintota vertical
+
con una asíntota vertical
no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
Línea 193: Línea 193:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
no esta acotada superiormente.
+
no está acotada superiormente.
-
# Reciprocamente, si existe un número real
+
# Recíprocamente, si existe un número real
<math>
<math>
a
a
Línea 211: Línea 211:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
no esta acotada inferiormente.
+
no está acotada inferiormente.
<br/>
<br/>
Línea 231: Línea 231:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
NO esta acotada superiormente.
+
NO está acotada superiormente.
<br/>
<br/>
Línea 247: Línea 247:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
NO esta acotada inferiormente.
+
NO está acotada inferiormente.
<br/>
<br/>
Línea 261: Línea 261:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
tiene una asintota vertical de ecuación &nbsp;
+
tiene una asíntota vertical de ecuación &nbsp;
<math>
<math>
x = 0
x = 0
Línea 269: Línea 269:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
no esta acotada.
+
no está acotada.
<br/>
<br/>
-
Para averiguar si esta acotada superior o inferiormente,
+
Para averiguar si está acotada superior o inferiormente,
calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
<center>
<center>
Línea 298: Línea 298:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; no esta acotada ni superior, ni inferiormente.
+
&nbsp; no está acotada ni superior, ni inferiormente.
<br/>
<br/>
Línea 316: Línea 316:
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
</math>
</math>
-
&nbsp; no esta acotada superiormente.
+
&nbsp; no está acotada superiormente.
<br/>
<br/>
Línea 324: Línea 324:
<br/>
<br/>
-
==Maximos y minimos==
+
==Máximos y mínimos==
<br/>
<br/>
Línea 332: Línea 332:
A
A
</math>
</math>
-
tiene maximo si la menor de las cotas superiores de
+
tiene máximo si la menor de las cotas superiores de
<math>
<math>
A
A
Línea 339: Línea 339:
<math>
<math>
A
A
-
</math>. El maximo de
+
</math>. El máximo de
<math>
<math>
A
A
Línea 358: Línea 358:
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; esta acotado superiormente, pero no tiene maximo, ya que la mayor de las
+
&nbsp; está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las
cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
Línea 371: Línea 371:
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right]
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right]
</math>
</math>
-
&nbsp; esta acotado superiormente y tiene maximo, ya que la mayor de las
+
&nbsp; está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las
cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
<br/>
<br/>
-
==Maximos y minimos absolutos de una función==
+
==Máximos y mínimos absolutos de una función==
<br/>
<br/>
Línea 384: Línea 384:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
se dice que alcanza el valor maximo en &nbsp;
+
se dice que alcanza el valor máximo en &nbsp;
<math>
<math>
x_M
x_M
</math>
</math>
-
&nbsp; y que dicho valor maximo es &nbsp;
+
&nbsp; y que dicho valor máximo es &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right)
Línea 404: Línea 404:
</center>
</center>
-
Reciprocamente,
+
Recíprocamente,
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
alcanza su valor minimo en &nbsp;
+
alcanza su valor mínimo en &nbsp;
<math>
<math>
x_m
x_m
</math>
</math>
-
&nbsp; y su valor minimo es &nbsp;
+
&nbsp; y su valor mínimo es &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right)
Línea 428: Línea 428:
</center>
</center>
-
Por lo tanto el valor maximo ( minimo ) que alcanza una función es el maximo (
+
Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo (
-
minimo ) de su recorrido.
+
mínimo ) de su recorrido.
<br/>
<br/>
Línea 436: Línea 436:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
y_2 > y1
+
y_2 > y_1
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 443: Línea 443:
\left( \, x_2, \, y_2 \, \right)
\left( \, x_2, \, y_2 \, \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; esta mas alto que el punto&nbsp;
+
&nbsp; está mas alto que el punto&nbsp;
<math>
<math>
\left( \, x_1, \, y_1 \, \right)
\left( \, x_1, \, y_1 \, \right)
</math>
</math>
-
", entonces el maximo absoluto de
+
", entonces el máximo absoluto de
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
corresponderia al punto mas "alto" de su grafíca y el minimo absoluto de
+
correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
corresponderia al punto mas "bajo" de su grafíca.
+
correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.
&nbsp;
&nbsp;
-
[[Category:Matematicas]]
+
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


Tabla de contenidos

Definición


Se dice que un conjunto 
A
de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un número real 
C
que es mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de 
A
.


A este número real se le llama cota superior ( inferior ). Si 
C
es una cota superior del conjunto 
A
, entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que 
C
es tambien una cota superior ( inferior ) de 
A

Ejemplo


El intervalo


\left[ \, 2, \, 9 \, \right] \subset \mathbb{R}

es un conjunto acotado superiormente porque


9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]

Tambien está acotado inferiormente porque


x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]


Definición


Una función 
\mathrm{f}
está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir, si existe un número 
C
tal que


C \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x 
en el dominio de 
\mathrm{f}

Análogamente, 
\mathrm{f}
está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir, si existe un número 
c
  tal que


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge c, \, \forall x
en el dominio de 
\mathrm{f}

Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.


Ejemplo


El recorrido de la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)
  es el intervalo cerrado   
\left[ \, -1, \, 1 \, \right]
.   Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente, la función 
\mathrm{f}
está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función 
</p>
<pre>\mathrm{f}
</pre>
<p> está acotada.


Propiedades


Propiedad 1


En la gráfica de 
f
, el que 
f
esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal ( paralela al eje 
X
), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.


Propiedad 2


Una función 
\mathrm{f}
con una asíntota vertical no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.


Mas concretamente:

  1. Si existe un número real


a
, tal que   
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
  o   
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
no está acotada superiormente.

  1. Recíprocamente, si existe un número real


a
, tal que   
\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
  o   
\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
no está acotada inferiormente.


Propiedad 3


Si   
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
  o   
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
NO está acotada superiormente.


Si   
\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
  o   
\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty 
,   entonces 
\mathrm{f}
NO está acotada inferiormente.


Ejemplo


La función


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}

tiene una asíntota vertical de ecuación   
x = 0
.   Por lo tanto, la función 
\mathrm{f}
no está acotada.


Para averiguar si está acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:


\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

y


\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)

El primero es   
-\infty
  y el segundo es   
\infty
.   Por lo tanto,   
\mathrm{f}
  no está acotada ni superior, ni inferiormente.


Ejemplo



\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty

Por lo tanto,   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
  no está acotada superiormente.


Ejemplo


Máximos y mínimos


Un conjunto de números reales acotado superiormente 
A
tiene máximo si la menor de las cotas superiores de 
A
pertenece a 
A
. El máximo de 
A
sería, de existir, la menor de las cotas superiores de 
A
.


Ejemplo


El intervalo   
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right)
  está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.


Ejemplo


El intervalo   
\left( \, -\infty, \, 2 \, \right]
  está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.


Máximos y mínimos absolutos de una función


Una función 
\mathrm{f}
se dice que alcanza el valor máximo en   
x_M
  y que dicho valor máximo es   
\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right)
,   si


\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \,
\forall x 
  en el dominio de 
\mathrm{f}

Recíprocamente, 
\mathrm{f}
alcanza su valor mínimo en   
x_m
  y su valor mínimo es   
\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right)
,   si


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right), \,
\forall x 
  en el dominio de 
\mathrm{f}

Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo ( mínimo ) de su recorrido.


Si cuando


y_2 > y_1

decimos que el "punto   
\left( \, x_2, \, y_2 \, \right)
  está mas alto que el punto  
\left( \, x_1, \, y_1 \, \right)
", entonces el máximo absoluto de 
\mathrm{f}
correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de 
\mathrm{f}
correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.

 

   
 
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