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Límite de una función

De Wikillerato

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El límite de la función  
El límite de la función  
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Una función es '''''discontinua''''' en un punto &nbsp;
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Una función presenta una '''''discontinuidad de primera especie''''' en el punto &nbsp;
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Una función &nbsp;
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&nbsp; presenta una '''''discontinuidad de segunda especie''''' en el punto &nbsp;
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x \, = \, x_0
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La función &nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; definida por:
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
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1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0
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no es continua en el punto &nbsp;
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x \, = \, 0
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&nbsp; porque &nbsp;
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\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; no existe, al no existir el limite por la izquierda de &nbsp;
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\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
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Como este limite por la izquierda no existe&nbsp;
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&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
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&nbsp; una discontinuidad de segunda especie.
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 15:05 11 ene 2007

%% {{{ =limite

El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   x_0   existe y es igual a   L , si ambos límites laterales existen y son iguales a   L , es decir


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente proximo a   x_0 , por la derecha o por la izquierda.



Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   +\infty , es   L   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   +\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente grande.



Analogamente, se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   -\infty , es   L   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   -\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente pequeño.


%% }}} %% {{{ =continuidad de funciones

Una función   \mathrm{f}   es continua en el punto   x \, = \, x_0   si   \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right) .


El que una función   \mathrm{f}   sea continua en el punto   x \, = \, x_0   implica que   \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)   existe y que   \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tambien existe.


Una función es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos del intervalo.


Una función es continua en todo su dominio cuando lo es en todos los puntos que lo componen.


%% }}} %% {{{ =discontinuidades

Tabla de contenidos

Definición


Una función es discontinua en un punto   x \, = \, x_0   si   \mathrm{f}   no es continua en dicho punto.


Tipos de discontinuidades


Discontinuidad evitable


Una función   \mathrm{f}   tiene una discontinuidad evitable en un punto   x \, = \, x_0   cuando existe el limite de la función en dicho punto.


Ejemplo


La función   \mathrm{f}   definida por:


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{x^2 \, - \, 1}{x \, - \, 1} & , & \quad \makebox{si}\quad x \neq 1 \\ 3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1 \end{array} </pre> <p>\right.


no es continua en el punto   x \, = \, 1   porque   \lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2   mientras que   \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, 3 , es decir:


\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \mathrm{f} \left( \, 1 \, \right)


Como   \lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   existe, la discontinuidad que   \mathrm{f}   tiene en el punto   x \, = \, 1   es evitable.


Discontinuidad de primera especie


Una función presenta una discontinuidad de primera especie en el punto   x \, = \, x_0   si los limites laterales de   f   en   x \, = \, x_0   existen pero son distintos, es decir:


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


Ejemplo


La función   \mathrm{f}   definida por:


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad 1 \ge x \\ x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1 \end{array} </pre> <p>\right.


no es continua en el punto   x \, = \, 1   porque   \lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   no existe, al ser ambos limites laterales distintos:


\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0


\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2


Como ambos limites laterales existen, la discontinuidad que   \mathrm{f}   tiene en el punto   x \, = \, 1   es de primera especie.


Discontinuidad de segunda especie


Una función   f   presenta una discontinuidad de segunda especie en el punto   x \, = \, x_0   si no existe alguno de los limites laterales de   f   en dicho punto.


Ejemplo


La función   \mathrm{f}   definida por:


\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad 0 \ge x \\ 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0 \end{array} </pre> <p>\right.


no es continua en el punto   x \, = \, 0   porque   \lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   no existe, al no existir el limite por la izquierda de   \mathrm{f}   cuando   x \to 0 :


\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Como este limite por la izquierda no existe  \mathrm{f}   tiene en el punto   x \, = \, 0   una discontinuidad de segunda especie.


Obtenido de "http://wikillerato.org/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n.html"
   
 
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