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Límite de una función

De Wikillerato

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El límite de la función  
El límite de la función  
<math>
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&nbsp; lo suficientemente pequeño.
&nbsp; lo suficientemente pequeño.
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[[Category:Matemáticas]]
 
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%% {{{ =continuidad de funciones
 
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Una función &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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&nbsp; es '''''continua''''' en el punto &nbsp;
 
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x \, = \, x_0
 
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&nbsp; si &nbsp;
 
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
 
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\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
 
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El que una función &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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&nbsp; sea continua en el punto &nbsp;
 
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x \, = \, x_0
 
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&nbsp; implica que &nbsp;
 
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\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
 
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&nbsp; existe y que &nbsp;
 
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\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 
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&nbsp; tambien existe.
 
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Una función es '''''continua en un intervalo''''' si es continua en todos los puntos del
 
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intervalo.
 
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Una función es '''''continua en todo su dominio''''' cuando lo es en todos los puntos que
 
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lo componen.
 
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%% {{{ =discontinuidades
 
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==Definición==
 
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Una función es '''''discontinua''''' en un punto &nbsp;
 
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<math>
 
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x \, = \, x_0
 
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&nbsp; si &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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&nbsp; no es continua en dicho punto.
 
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==Tipos de discontinuidades==
 
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===Discontinuidad evitable===
 
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Una función &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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&nbsp; tiene una '''''discontinuidad evitable''''' en un punto &nbsp;
 
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x \, = \, x_0
 
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&nbsp; cuando existe el limite de la función en dicho punto.
 
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====Ejemplo====
 
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La función &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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&nbsp; definida por:
 
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
 
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\left\{
 
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\begin{array}[c]{rcl}
 
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\frac{\displaystyle x^2 \, - \, 1}{\displaystyle x \, - \, 1} & , &
 
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\quad \makebox{si}\quad x \neq 1
 
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\\
 
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3 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, = \, 1
 
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\end{array}
 
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\right.
 
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no es continua en el punto &nbsp;
 
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x \, = \, 1
 
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</math>
 
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&nbsp; porque &nbsp;
 
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\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2
 
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&nbsp; mientras que &nbsp;
 
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\mathrm{f} \left( \, 1 \, \right) \, = \, 3
 
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, es decir:
 
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\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \,
 
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\mathrm{f} \left( \, 1 \, \right)
 
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Como &nbsp;
 
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\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 
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&nbsp; existe, la discontinuidad que &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
 
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x \, = \, 1
 
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&nbsp; es evitable.
 
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===Discontinuidad de primera especie===
 
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Una función presenta una '''''discontinuidad de primera especie''''' en el punto &nbsp;
 
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x \, = \, x_0
 
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&nbsp; si los limites laterales de &nbsp;
 
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f
 
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&nbsp; en &nbsp;
 
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x \, = \, x_0
 
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&nbsp; existen pero son distintos, es decir:
 
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\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, \neq \,
 
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\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 
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====Ejemplo====
 
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La función &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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&nbsp; definida por:
 
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
 
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\left\{
 
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\begin{array}[c]{rcl}
 
-
x^2 \, + \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad 1 \ge x
 
-
\\
 
-
x \, - \, 1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 1
 
-
\end{array}
 
-
\right.
 
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</center>
 
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no es continua en el punto &nbsp;
 
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x \, = \, 1
 
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</math>
 
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&nbsp; porque &nbsp;
 
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<math>
 
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\lim_{x \to 1} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 
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</math>
 
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&nbsp; no existe, al ser ambos limites laterales distintos:
 
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\lim_{x \to 1^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 0
 
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<br/>
 
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\lim_{x \to 1^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 2
 
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</math>
 
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</center>
 
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Como ambos limites laterales existen, la discontinuidad que &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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</math>
 
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&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
 
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<math>
 
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x \, = \, 1
 
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</math>
 
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&nbsp; es de primera especie.
 
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<br/>
 
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===Discontinuidad de segunda especie===
 
-
 
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<br/>
 
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Una función &nbsp;
 
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<math>
 
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f
 
-
</math>
 
-
&nbsp; presenta una '''''discontinuidad de segunda especie''''' en el punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x \, = \, x_0
 
-
</math>
 
-
&nbsp; si no existe alguno de los limites laterales de &nbsp;
 
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<math>
 
-
f
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en dicho punto.
 
-
 
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<br/>
 
-
 
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====Ejemplo====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
La función &nbsp;
 
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<math>
 
-
\mathrm{f}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; definida por:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \,
 
-
\left\{
 
-
\begin{array}[c]{rcl}
 
-
\frac{1}{x} & , & \quad \makebox{si} \quad 0 \ge x
 
-
\\
 
-
1 & , & \quad \makebox{si} \quad x \, > \, 0
 
-
\end{array}
 
-
\right.
 
-
</math>
 
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</center>
 
-
 
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<br/>
 
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no es continua en el punto &nbsp;
 
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<math>
 
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x \, = \, 0
 
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</math>
 
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&nbsp; porque &nbsp;
 
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\lim_{x \to 0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 
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</math>
 
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&nbsp; no existe, al no existir el limite por la izquierda de &nbsp;
 
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\mathrm{f}
 
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</math>
 
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&nbsp; cuando &nbsp;
 
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<math>
 
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x \to 0
 
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</math>:
 
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<center>
 
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<math>
 
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\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
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Como este limite por la izquierda no existe&nbsp;
 
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<math>
 
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\mathrm{f}
 
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</math>
 
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&nbsp; tiene en el punto &nbsp;
 
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<math>
 
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x \, = \, 0
 
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&nbsp; una discontinuidad de segunda especie.
 
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión de 15:06 11 ene 2007

El límite de la función   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   x_0   existe y es igual a   L , si ambos límites laterales existen y son iguales a   L , es decir


\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:


\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente proximo a   x_0 , por la derecha o por la izquierda.



Se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   +\infty , es   L   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   +\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente grande.



Analogamente, se dice que el límite de la funcion   \mathrm{f} , cuando   x   tiende a   -\infty , es   L   si cualquier sucesión   \left( \, x_n \, \right) _{n \in N}   que tiende a   -\infty   verifica que   \lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L .


Lo expresamos como:


\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   tan cercano a   L   como queramos eligiendo   x   lo suficientemente pequeño.


Obtenido de "http://wikillerato.org/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n.html"
   
 
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