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Límite de una función

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Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:



a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si y solo si   
b > a \left( \, a > b \, \right)
.


Es decir, 
a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si 
a
es menor ( mayor ) que 
b
.


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
L \in \mathbb{R}
, si ambos límites laterales existen y son iguales a   
L 
, es decir


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Lo expresamos de la siguiente manera:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L 
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente proximo a   
x_0
, por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente cercano a   
x_0
.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
-\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente cercano a   
x_0
.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty
, es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente grande.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente grande.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty
, es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
-\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
, cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
, si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


   
 
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