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Límite de una función

De Wikillerato

Tabla de contenidos


Nota sobre terminología


Utilizamos la palabra pequeño ( grande) de la siguiente manera:



a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si y solo si   
b > a \left( \, a > b \, \right)
.


Es decir, 
a
es mas pequeño ( grande ) que 
b
si 
a
es menor ( mayor ) que 
b
.


La distancia entre dos puntos 
a
y 
b
de la recta real 
\left(
</p>
<pre> \, a, \, b \in \mathbb{R} \,
</pre>
<p>\right)
es   
\left| \, a - b \, \right|
.   Cuanto mas pequeña sea esta distancia mas proximos o cercanos diremos que estan los puntos 
a
y 
b
.


Por ejemplo, 
-1
esta mas cerca de 
2
que el 
7
ya que


\left| \, 2 - 7 \, \right| > \left| \, 2 - \left( -1 \right) \right|


Limite de f(x) cuando x tiende a un número real


Limite finito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  existe y es igual a   
L \in \mathbb{R}
si ambos límites laterales existen y son iguales a   
L 
, es decir



\lim_{x \to x_0^+} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \,
\lim_{x \to x_0^-} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, L


Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L 
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente proximo a   
x_0
,   por la derecha o por la izquierda.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la izquierda existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la izquierda   
\left( \, x_0 > x \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y,  \, \quad \forall x \in  \left( \, x_0 - \delta, \,  x_0 \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^-} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, \infty


Analogamente, el límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la derecha existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la derecha   
\left( \, x > x_0 \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^+} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, \infty


Ejemplo


Demostremos que


\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty

Para ello seleccionamos un   
y \in \mathbb{R}
  cualquiera e intentamos encontrar un   
\delta > 0
  de manera que


x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si 
y
no es positivo, entonces cualquier   
\delta > 0
  verifica


x \in \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y

Si 
y
es positivo, entonces


\frac{1}{x} > y \Leftrightarrow \frac{1}{y} > x > 0

Por lo tanto, si elegimos


\delta = \frac{1}{y}

se verifica que


x \in  \left( \, 0, \, \delta \, \right) \Rightarrow \frac{1}{x} > y


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la izquierda existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la izquierda 
\left( \, x_0 > x \, \right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, x_0 - \delta, \, x_0 \, \right)
</pre>
<p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^-} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, -\infty


Analogamente, el límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
x_0 \in\mathbb{R}
  por la derecha existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x 
lo suficientemente cercano a   
x_0
  por la derecha   
\left(
</p>
<pre> \, x > x_0 \,
</pre>
<p>\right)
.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists \delta  > 0 /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, x_0, \, x_0 + \delta \, \right)
</pre>
<p>\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to  x_0^+} \mathrm{f} \left(  \, x  \, \right) \,  = \, -\infty


Cuando alguno de los limites laterales de 
\mathrm{f}
cuando 
x
tiende a   
x_0
  es infinito o menos infinito, la grafica de 
\mathrm{f}
tiene una asintota vertical de ecuación   
x = x_0
.


Limite de f(x) cuando x tiende a infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty
es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n  \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente grande.


Es decir


\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall
x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right)


Si el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty
es   
L \in \mathbb{R}
,   entonces la gráfica de la función 
\mathrm{f}
tiene una asintota horizontal por la derecha de ecuación   
y = L
.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente grande.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, a, \infty \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, a, \, \infty \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


Limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito


Limite finito


Se dice que el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty
es   
L \in \mathbb{R}
  si cualquier sucesión   
\left( \, x_n  \, \right)
_{n \in N}
  que tiende a   
-\infty
  verifica que   
\lim_{n \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x_n \, \right) \, = \, L
.


Lo expresamos como:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, L


El que la anterior igualdad sea cierta significa que podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan cercano a   
L
  como queramos eligiendo   
x
  lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall \epsilon > 0, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) \in \left( \, L - \epsilon, \, L + \epsilon \, \right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)


Si el límite de la funcion   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty
es   
L \in \mathbb{R}
,   entonces la gráfica de la función 
\mathrm{f}
tiene una asintota horizontal por la izquierda de ecuación   
y = L
.


Limite infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan grande como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right) > y, \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \infty


Limite menos infinito


El límite de la función   
\mathrm{f}
cuando   
x
  tiende a   
-\infty 
  existe y es igual a   
-\infty 
si podemos hacer   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  tan pequeño como queramos, eligiendo 
x
lo suficientemente pequeño.


Es decir


\forall y \in \mathbb{R}, \quad \exists a \in \mathbb{R} /
\left(
</p>
<pre> \, y > \mathrm{f} \left( \, x \,
</pre>
<p>\right), \, \quad \forall x \in \left( \, -\infty, \, a \, \right)
\right)

Lo expresamos de la siguiente manera:



\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, -\infty


   
 
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