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Métodos de integración

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 114: Línea 114:
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Una manera de resolver el problema es haciendo el cambio de variable
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Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable
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Línea 141: Línea 141:
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Supongamos que existe una funcion &nbsp;
+
Ambos miembros de la igualdad anterior son dos formas distintas de denotar la
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derivada de la funci\'on
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
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Despejando &nbsp;
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\mathrm{d}t
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&nbsp; tal que
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&nbsp; en la igualdad anterior, se deduce que
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\mathrm{f}^\prime \left( x \right) = \mathrm{h} \left( t \right)
+
\mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x
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Entonces, se tendria que:
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Sustituyendo &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x
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+
\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
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\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x
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se tiene que
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\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
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\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \infty \mathrm{g} \left(
 +
t \right) \cdot \mathrm{d}t
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Supongamos que &nbsp;
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&nbsp; es una primitiva de
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\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot
 +
\mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x = \infty \mathrm{g} \left(
 +
t \right) \cdot \mathrm{d}t = \mathrm{G} \left( t \right) + C= \mathrm{F} \left(
 +
\mathrm{f} \left( x \right)\right) + C
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==Ejemplo==
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Calculemos mediante el método de sustitución la integral
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\infty e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x
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Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de
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sustitución con
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\begin{array}{ll}
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\mathrm{g} \left( x \right) & = \cos \left( x \right)
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\\
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\mathrm{f} \left( x \right) & = e^x
 +
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Observese que
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\begin{array}{ll}
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\mathrm{f}^\prime \left( x \right) & = e^x
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\\
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\int e^x \cdot \cos \left( \, e^x \, \right) \cdot \mathrm{d}x = \int
 +
\mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x &
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\end{array}
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En este caso, u
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Con este cambio de variable, la integral anterior se pondria de la der
 
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Revisión de 16:03 15 nov 2010

Tabla de contenidos

Integración por partes


La fórmula para la derivada de un producto es:

\left( \, u \cdot v \, \right)^\prime = u^\prime \cdot v + u \cdot v^\prime

Despejando el último sumando, queda:

u \cdot v^\prime = \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime - u^\prime \cdot v

Si integramos en los dos miembros, se obtiene:

\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x = u \cdot v - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

La última igualdad es cierta porque una primitiva de la derivada de una función es esa misma función.


Esta fórmula permite calcular la integral   \int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x   a partir de la integral   \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x .


Para que sea de utilidad el utilizar este metodo es necesario que nos resulte mas sencilla de resolver la integral   \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x   que la integral de partida,   \int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x .


Ejemplo


Calculemos la integral

\int x \cdot e^x \cdot \mathrm{d}x

por partes.


Si hacemos

\begin{array}{ll} </p> <pre> u \left( \, x \, \right) & = x \\ v^\prime \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> <p>\end{array}

se tiene que

\begin{array}{ll} </p> <pre> u^\prime \left( \, x \, \right) & = 1 \\ v \left( \, x \, \right) & = e^x </pre> <p>\end{array}

Utilizando la fórmula que hemos visto antes

\int u \cdot v^\prime \cdot \mathrm{d}x = \int \left( \, u \cdot v \, \right)^\prime \mathrm{d}x - \int u^\prime \cdot v \cdot\mathrm{d}x

Por tanto

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Método de sustitución


Supongamos que queremos resolver una integral del tipo:

\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Una manera de resolver un problema de este tipo es haciendo el cambio de variable

t = \mathrm{f} \left( x \right)

La nueva variable t es una función de x , con lo cual podemos hablar de la derivada de t con respecto de x , que se puede escribir como un cociente de diferenciales:

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Ambos miembros de la igualdad anterior son dos formas distintas de denotar la derivada de la funci\'on \mathrm{f} .


Despejando   \mathrm{d}t   en la igualdad anterior, se deduce que

\mathrm{d}t = \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

Sustituyendo   \mathrm{d}t   por   \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x   y   \mathrm{f} \left( x \right)   por t en

\int \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( x \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( x \right) \cdot \mathrm{d}x

se tiene que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Supongamos que   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]   es una primitiva de   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ], entonces

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Ejemplo


Calculemos mediante el método de sustitución la integral

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Para ello utilizamos las formulas dadas en la descripción del metodo de sustitución con

\begin{array}{ll} </p> <pre> \mathrm{g} \left( x \right) & = \cos \left( x \right) \\ \mathrm{f} \left( x \right) & = e^x </pre> <p>\end{array}

Observese que

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

En este caso, u

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