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Operaciones elementales con matrices

De Wikillerato


==Suma de

Tabla de contenidos

Producto de un numero por una matriz


Para un número real   
k
  y una matriz   
A = \left( a_{ij} \right)}
  de dimension   
m \times n
,   el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension   
m \times n
  dada por



k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)


Es decir, el producto   
k \cdot A 
  se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.


Ejemplo



k \cdot A  = k \cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   a_{11 }& a_{12} 
   \\
   a_{21 }& a_{22} 
   \\
   a_{31 }& a_{32} 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} 
   \\
   k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} 
   \\
   k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


==Producto de 
A \cdot B = \left( c_{ij} \right) 
</center>


con


piko</center>


Es decir, cada elemento   
c_{ik}
  se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz.


Ejemplo



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{ccc}
   1 & 2 & 3 
   \\
   4 & 5 & 6 
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
\cdot
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   ~~7 & ~~8
   \\
   ~~9 & ~~0
   \\
   -1 & -2
 \end{array}
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right)
   \\
   4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right)
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


Propiedades del producto de matrices


1. El producto de matrices cuadradas es asociativo:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B \cdot C
</pre>
<p>\right)
=
\left(
</p>
<pre> A \cdot B
</pre>
<p>\right)
\cdot C


2. El producto de matrices cuadradas de orden   
n
  posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad   
I
  de orden   
n
  ya que:



A \cdot I = I \cdot A = A


3. El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:



A \cdot
\left(
</p>
<pre> B + C
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>= A \cdot B + A \cdot C
</pre>
<p>


   
 
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