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Periodicidad

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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Si definimos una función
Si definimos una función
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\mathrm{f}
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a partir de otra función
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\mathrm{g}
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mediante la igualdad &nbsp;
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es un numero real cualquiera,
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entonces decimos que se ha obtenido
entonces decimos que se ha obtenido
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T
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es invariante bajo aquellas traslaciones cuyo desplazamiento, &nbsp;
+
es invariante bajo aquellas traslaciones horizontales cuyo desplazamiento, &nbsp;
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a
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&nbsp; es un número entero por el periodo. Es decir, si
+
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a = n \cdot T
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con
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n \in \mathbb{Z}
n \in \mathbb{Z}
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==Ejemplo==
==Ejemplo==
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&nbsp; son numeros reales cualesquiera.
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&nbsp; son números reales cualesquiera y &nbsp;
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b \neq 0
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==Ejemplo==
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El periodo de todas estas funciones es &nbsp;
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\frac{2 \cdot \pi}{b}
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Una función constante es una función periódica.
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En este ejemplo, el periodo es
+
En este ejemplo, el periodo es &nbsp;
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T = \frac{2 \pi}{5}
T = \frac{2 \pi}{5}
Línea 276: Línea 288:
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
= x, \, \forall x \in \left[ \, 0, \, 5 \, \right]
+
= x, \, \forall x \in \left[ \, 0, \, 5 \, \right)
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x + n \cdot T = x + 5n
+
13 + n \cdot T = 13 + 5n
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se encuentra en el intervalo
+
se encuentre en el intervalo
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\left[ \, 0, \, 5 \, \right)
\left[ \, 0, \, 5 \, \right)
Línea 309: Línea 321:
n
n
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dividimos 13 entre 5. Nos da 2 de cociente y 3 de resto.
+
dividimos 13 entre 5. La división nos da 2, de cociente, y 3, de resto.
Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que
Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que
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Línea 316: Línea 328:
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Como
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y por lo tanto
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T = 5
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que se encuentra en el intervalo &nbsp; <math> \left[ \, 0, \, 5 \, \right) </math>.
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Por la propiedad 2,
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3 \in \left[ \, 0, \, 5 \, \right)
+
\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right)
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</math>,
+
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. &nbsp; Como, por otra parte, &nbsp;
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y
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\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) = 3
+
\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = 3
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición


Se dice que una función   
\mathrm{f}
  es periódica, de periodo   
T
,   con   
T > 0
, si y solo si verifica las siguientes dos condiciones:


1.   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, T \, \right)
  para todo número real   
x
, y


2.   
T
  es el menor número positivo que cumple la anterior condición.


Propiedades


Propiedad 1


Para determinar completamente una función periódica de periodo 
T
es suficiente con especificar


\mathrm{f} \left(  \, x  \,  \right), \,
\forall x \in \left[ \, a, \, a + T \, \right)

y para cualquier 
a \in \mathbb{R}
.


El simbolo 
\forall 
significa ``para todo`` y   
\left[
</p>
<pre> \, a, \, a + T \,
</pre>
<p>\right)
  representa el conjunto de números reales que son mayores o iguales que 
a
y menores que 
a + T
.


Propiedad 2


Si 
\mathrm{f}
es una función periódica de periodo 
T
, entonces 
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, n \cdot  T \, \right)
  para todo número real 
x
y cualquier número entero 
n
.


Si definimos una función 
\mathrm{g}
, a partir de otra función 
\mathrm{f}
, mediante la igualdad   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) =
\mathrm{f} \left( \, x - a \, \right)
,   donde 
a
es un número real cualquiera, entonces decimos que se ha obtenido 
\mathrm{g}
trasladando 
\mathrm{f}
horizontalmente.


Si 
a
es positiva, la grafica de 
\mathrm{g}
coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de 
\mathrm{f}

a
unidades a la derecha.


Si 
a
es negativa, la grafica de 
\mathrm{g}
coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de 
\mathrm{f}
una distancia 
-a
a la izquierda.


Un función periódica de periodo 
T
es invariante bajo aquellas traslaciones horizontales cuyo desplazamiento,   
a
,   es un número entero por el periodo ( 
a = n \cdot T
  con   
n \in \mathbb{Z}
).


Ejemplo


Tipicas funciones periódicas son las funciones trigonometricas: el coseno, el seno y la tangente.


Son funciones periódicas


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   f \left( \, x \, \right) = a \cdot cos ( b \cdot x + c )
   \\
   g \left( \, x \, \right) = a \cdot sen ( b \cdot x + c )
   \\
   h \left( \, x \, \right) = a \cdot tan ( b \cdot x + c )
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

donde   
a
, 
b
y 
c 
  son números reales cualesquiera y   
b \neq 0
.


El periodo de todas estas funciones es   
\frac{2 \cdot \pi}{b}
.


Ejemplo



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 1'2 \cdot \cos \left( \, 5x  \, \right)

En este ejemplo, el periodo es   
T = \frac{2 \pi}{5}


Imagen:coseno.png


Ejercicio


Sea 
\mathrm{f}
una función periódica de periodo 5, tal que


\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
= x, \, \forall x \in \left[ \, 0, \, 5 \, \right)

Calculese 
\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right)


Solución

El ejercicio se resuelve buscando un número entero 
n
tal que


13 + n \cdot T = 13 + 5n

se encuentre en el intervalo 
\left[ \, 0, \, 5 \, \right)
.


Para encontrar 
n
dividimos 13 entre 5. La división nos da 2, de cociente, y 3, de resto. Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que


13 = 2 \cdot 5 + 3

y por lo tanto


3 = 13 + \left( \, -2 \, \right) \cdot 5

que se encuentra en el intervalo    \left[ \, 0, \, 5 \, \right) .


Por la propiedad 2,   
\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) 
.   Como, por otra parte,   
\mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) = 3
,   se tiene que


\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = 3

   
 
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