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Periodicidad

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Definición


Se dice que una función   
\mathrm{f}
  es periódica, de periodo   
T
,   con   
T > 0
, si y solo si verifica las siguientes dos condiciones:


1.   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, T \, \right)
  para todo número real   
x
, y


2.   
T
  es el menor número positivo que cumple la anterior condición.


Propiedades


Propiedad 1


Para determinar completamente una función periódica de periodo 
T
es suficiente con especificar


\mathrm{f} \left(  \, x  \,  \right), \,
\forall x \in \left[ \, a, \, a + T \, \right)

y para cualquier 
a \in \mathbb{R}
.


El simbolo 
\forall 
significa ``para todo`` y   
\left[
</p>
<pre> \, a, \, a + T \,
</pre>
<p>\right)
  representa el conjunto de números reales que son mayores o iguales que 
a
y menores que 
a + T
.


Propiedad 2


Si 
\mathrm{f}
es una función periódica de periodo 
T
, entonces 
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, n \cdot  T \, \right)
  para todo número real 
x
y cualquier número entero 
n
.


Si definimos una función 
\mathrm{g}
, a partir de otra función 
\mathrm{f}
, mediante la igualdad   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) =
\mathrm{f} \left( \, x - a \, \right)
,   donde 
a
es un número real cualquiera, entonces decimos que se ha obtenido 
\mathrm{g}
trasladando 
\mathrm{f}
horizontalmente.


Si 
a
es positiva, la grafica de 
\mathrm{g}
coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de 
\mathrm{f}

a
unidades a la derecha.


Si 
a
es negativa, la grafica de 
\mathrm{g}
coincide con la que obtendriamos trasladando la grafica de 
\mathrm{f}
una distancia 
-a
a la izquierda.


Un función periódica de periodo 
T
es invariante bajo aquellas traslaciones horizontales cuyo desplazamiento,   
a
,   es un número entero por el periodo ( 
a = n \cdot T
  con   
n \in \mathbb{Z}
).


Ejemplo


Tipicas funciones periódicas son las funciones trigonometricas: el coseno, el seno y la tangente.


Son funciones periódicas


\left\{
</p>
<pre> \begin{array}{l}
   f \left( \, x \, \right) = a \cdot cos ( b \cdot x + c )
   \\
   g \left( \, x \, \right) = a \cdot sen ( b \cdot x + c )
   \\
   h \left( \, x \, \right) = a \cdot tan ( b \cdot x + c )
 \end{array}
</pre>
<p>\right.

donde   
a
, 
b
y 
c 
  son números reales cualesquiera y   
b \neq 0
.


El periodo de todas estas funciones es   
\frac{2 \cdot \pi}{b}
.


Ejemplo



\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) \, = \, 1'2 \cdot \cos \left( \, 5x  \, \right)

En este ejemplo, el periodo es   
T = \frac{2 \pi}{5}


Imagen:coseno.png


Ejercicio


Sea 
\mathrm{f}
una función periódica de periodo 5, tal que


\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
= x, \, \forall x \in \left[ \, 0, \, 5 \, \right)

Calculese 
\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right)


Solución

El ejercicio se resuelve buscando un número entero 
n
tal que


13 + n \cdot T = 13 + 5n

se encuentre en el intervalo 
\left[ \, 0, \, 5 \, \right)
.


Para encontrar 
n
dividimos 13 entre 5. La división nos da 2, de cociente, y 3, de resto. Como el dividendo es igual al divisor por el cociente mas el resto, se tiene que


13 = 2 \cdot 5 + 3

y por lo tanto


3 = 13 + \left( \, -2 \, \right) \cdot 5

que se encuentra en el intervalo    \left[ \, 0, \, 5 \, \right) .


Por la propiedad 2,   
\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) 
.   Como, por otra parte,   
\mathrm{f} \left( \, 3 \, \right) = 3
,   se tiene que


\mathrm{f} \left( \, 13 \, \right) = 3

   
 
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