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Primitiva de una función

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==Definición==
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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I
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si la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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&nbsp;
&nbsp;
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-
I \qquad \Leftrightarrow \qquad \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
+
I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right)
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</center>
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==Ejemplo==
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===Ejemplo===
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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, &nbsp; entonces existe un número &nbsp;
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, &nbsp; entonces existe un número real &nbsp;
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C
C
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, &nbsp; tal que
, &nbsp; tal que
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Reciprocamente, si a una primitiva de una fución &nbsp;
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Reciprocamente, si a una primitiva de una función &nbsp;
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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, &nbsp; le añadimos una constante
+
&nbsp; le añadimos una constante
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===Ejemplo===
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7
 +
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&nbsp; son dos funciones primitivas de &nbsp;
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\mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x
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&nbsp; ya que
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\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
 +
\mathrm{G}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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Observese que la diferencia &nbsp;
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
 +
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&nbsp; es una constante ( = 7 ).
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[[Category: Matemáticas]]
[[Category: Matemáticas]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición


Dadas dos funciones   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  y   
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
,   definidas en un intervalo   
</p>
<pre>I =
</pre>
<p>\left[
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]
,   diremos que   
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
  es una función primitiva de   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  en 
I
si la derivada de   
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
  es la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  en el intervalo   
I
.



\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
  es primitiva de   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
  en   
I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
</p>
<pre>\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right)
</pre>
<p>


Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.


Ejemplo


Consideremos la función   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2
  y denotemos por   
\mathrm{g} 
  la derivada de   
\mathrm{f}
,   es decir:



\mathrm{g} \left( \,x \, \right) \, =
\, \mathrm{f}^\prime \left( \,x \, \right) \, = \, 2 \cdot x


Entonces una primitiva de   
\mathrm{g} \left( \, x \, \right)
  es   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
.


¿Cuantas primitivas puede tener una función?


Una función cualquiera admite infinitas primitivas, de hecho


Dos funciones son primitivas de una misma función si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva.


Es decir, si   
\mathrm{F}
  y   
\mathrm{G}
  son primitivas de   
\mathrm{f}
,   entonces existe un número real   
C
,   tal que



\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G} \left( \, x \, \right)
</p>
<pre>\, + \, C
</pre>
<p>


Reciprocamente, si a una primitiva de una función   
\mathrm{f}
  le añadimos una constante   
C
,   entonces obtenemos otra primitiva de   
\mathrm{f}
.


Ejemplo


  
\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2
  y   
\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7
  son dos funciones primitivas de   
\mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x
,   ya que



\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
\mathrm{G}^\prime  \left( \, x \, \right) \, = \,
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)


Observese que la diferencia   
\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \,
\mathrm{F}  \left( \, x \, \right)
  es una constante ( = 7 ).


   
 
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