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Problemas de distancias

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 200.44.14.135 (Talk); a la última edición de Fjmolina)
(Distancia entre un punto y una recta)
Línea 25: Línea 25:
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==Distancia entre un punto y una recta==
+
I thought finding this would be so arduous but it’s a beerze!
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La distancia de un punto
+
-
<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
a una recta
+
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<math>
+
-
r
+
-
</math>
+
-
es la distancia entre
+
-
<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
y su proyeccion
+
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<math>
+
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P^\prime
+
-
</math>
+
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en la recta
+
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<math>
+
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r
+
-
</math>.
+
-
 
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<br/>
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<center>
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[[Imagen:dcPnLi.png]]
+
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</center>
+
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<br/>
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===Ejemplo===
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<br/>
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Calculemos la distancia del punto &nbsp;
+
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<math>
+
-
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
+
-
</math>
+
-
&nbsp; a la recta
+
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<math>
+
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r
+
-
</math>
+
-
de ecuaciones
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-
 
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<br/>
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<center>
+
-
<math>
+
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r:
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}{l}
+
-
0 = x - 2y + 3z
+
-
\\
+
-
0 = 2x - y + 4
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
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</center>
+
-
 
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Sea &nbsp;
+
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<math>
+
-
P^\prime = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
+
-
</math>
+
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&nbsp; la proyección del punto
+
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<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
en la recta
+
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<math>
+
-
r
+
-
</math>.
+
-
Queremos calcular la distancia de
+
-
<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
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+
-
<math>
+
-
P^\prime
+
-
</math>
+
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y para ello necesitamos conocer
+
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<math>
+
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P^\prime
+
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</math>.
+
-
 
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<br/>
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Para hallar
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<math>
+
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P^\prime
+
-
</math>
+
-
vamos a resolver un sistema de tres ecuaciones, dos de ellas son las de la recta
+
-
<math>
+
-
r
+
-
</math>
+
-
y la otra ecuación procede de igualar a cero el producto escalar del vector
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\vec{PP^\prime} =
+
-
\left(
+
-
\, x, \, y, \, z \,
+
-
\right)
+
-
-
+
-
\left(
+
-
\, 2, \, 1, \, 0 \,
+
-
\right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
por un vector director de la recta
+
-
<math>
+
-
r
+
-
</math>.
+
-
El producto escalar de ambos vectores es cero porque son perpendiculares (la recta que pasa por
+
-
<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
y
+
-
<math>
+
-
P^\prime
+
-
</math>
+
-
es perpendicular a la recta
+
-
<math>
+
-
r
+
-
</math>
+
-
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+
-
 
+
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<br/>
+
-
 
+
-
Podemos obtener un vector director
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<math>
+
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\mathbf{u}
+
-
</math>
+
-
de la recta
+
-
<math>
+
-
r
+
-
</math>
+
-
[[Producto vectorial|multiplicando vectorialmente]] un vector perpendicular al plano
+
-
<math>
+
-
\pi_1
+
-
</math>
+
-
por un vector perpendicular al plano
+
-
<math>
+
-
\pi_2
+
-
</math>.
+
-
 
+
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Un vector
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_1
+
-
</math>
+
-
perpendicular al plano
+
-
<math>
+
-
\pi_1
+
-
</math>
+
-
lo podemos obtener de los coeficientes de x, y, z en la ecuación de
+
-
<math>
+
-
\pi_1
+
-
</math>:
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_1 = \left( \, 1, \, -2, \, 3 \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
De la misma forma obtenemos un vector
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_2
+
-
</math>
+
-
perpendicular al plano
+
-
<math>
+
-
\pi_2
+
-
</math>:
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_2 = \left( \, 2, \, -1, \, 0 \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
El producto vectorial de ambos vectores,
+
-
<math>
+
-
\mathbf{n}_1
+
-
</math>
+
-
y
+
-
<math>
+
-
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+
-
</math>
+
-
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+
-
 
+
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<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\mathbf{u} =
+
-
\left|
+
-
\begin{array}{ccc}
+
-
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
+
-
\\
+
-
1 & -2 & 3
+
-
\\
+
-
2 & -1 & 0
+
-
\end{array}
+
-
\right| = \left( \, 3, \, 6, \, 3 \, \right)
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
donde
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\begin{array}{ll}
+
-
\mathbf{i} & = \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right)
+
-
\\
+
-
\mathbf{j} & = \left( \, 0, \, 1, \, 0 \, \right)
+
-
\\
+
-
\mathbf{k} & = \left( \, 0, \, 0, \, 1 \, \right)
+
-
\end{array}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El producto escalar de
+
-
<math>
+
-
\mathbf{u}
+
-
</math>
+
-
por &nbsp;
+
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<math>
+
-
\vec{PP^\prime }
+
-
</math>
+
-
&nbsp; es
+
-
 
+
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<br/>
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-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left|
+
-
\begin{array}{ccc}
+
-
x - 2 & y - 1 & z - 0
+
-
\\
+
-
1 & -2 & 3
+
-
\\
+
-
2 & -1 & 0
+
-
\end{array}
+
-
\right|
+
-
= \left( \, x - 2, \, y - 1, \, z - 0 \, \right) \cdot \left( \, 3, \, 6, \, 3
+
-
\, \right) =
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
= 3 \cdot \left( \, x - 2 \, \right) + 6 \cdot \left( \, y - 1 \,
+
-
\right) + 3 \cdot \left( \, z - 0 \, \right) = 3x + 6y + 3z -12 = 0
+
-
\right|
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
donde la primera fila del determinante es el vector &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\vec{PP^\prime }
+
-
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+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
El punto
+
-
<math>
+
-
P^\prime
+
-
</math>
+
-
es, pues, la solución del sistema de ecuaciones
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\left\{
+
-
\begin{array}{l}
+
-
0 = 3x + 6y + 3z -12
+
-
\\
+
-
0 = x - 2y + 3z
+
-
\\
+
-
0 = 2x - y + 4
+
-
\end{array}
+
-
\right.
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Restando a la tercera ecuación la primera y la segunda se tiene que
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
0 = 9y - 16
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
con lo cual &nbsp;
+
-
<math>
+
-
y = \frac{16}{9}
+
-
</math>.
+
-
&nbsp; Sustituyendo
+
-
<math>
+
-
y
+
-
</math>
+
-
por
+
-
<math>
+
-
\frac{16}{9}
+
-
</math>
+
-
en la tercera ecuación del sistema y despejando
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
se llega a que
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
x = \frac{y}{2} - 2 = \frac{8}{9} - 2 = -\frac{10}{9}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
Finalmente, sustituyendo
+
-
<math>
+
-
y
+
-
</math>
+
-
por
+
-
<math>
+
-
\frac{16}{9}
+
-
</math>
+
-
y
+
-
<math>
+
-
x
+
-
</math>
+
-
por &nbsp;
+
-
<math>
+
-
\frac{-10}{9}
+
-
</math>
+
-
&nbsp;
+
-
en la segunda ecuación del sistema y despejando
+
-
<math>
+
-
z
+
-
</math>
+
-
se llega a que
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
z = \frac{1}{3} \cdot \left( \, 2y - x \, \right) = \frac{1}{3} \cdot \left( \,
+
-
2 \cdot \frac{16}{9} + \frac{10}{9} \, \right) = \frac{42}{27} = \frac{14}{9}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
La distancia de
+
-
<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
a
+
-
<math>
+
-
r
+
-
</math>
+
-
coincide con la distancia de
+
-
<math>
+
-
P
+
-
</math>
+
-
a
+
-
<math>
+
-
P^\prime
+
-
</math>
+
-
y esta es:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
-
<math>
+
-
\sqrt{\left( \, 2 - \left( \, -\frac{10}{9} \, \right) \right)^2 + \left( \, 1 - \frac{16}{9} \, \right)^2 + \left( \, 0 -
+
-
\frac{14}{9} \, \right)^2}
+
-
</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
-
<br/>
+
==Distancia de un punto a un plano==
==Distancia de un punto a un plano==

Revisión de 18:01 29 jun 2011

Tabla de contenidos

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   
P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  y   
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
  es


\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = 
\sqrt{
</p>
<pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 
</pre>
<p>}


I thought finding this would be so arduous but it’s a beerze!

Distancia de un punto a un plano


Sea 
\pi
un plano con vector normal 
\mathbf{n}
y al que pertenece el punto   
Q
.


La distancia de un punto 
P
al plano 
\pi 
es la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal al plano 
\pi
, que se puede calcular mediante la fórmula:


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ}  \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left|
</p>
<pre>     \, \mathbf{n} \, \right|}}
</pre>
<p>


Imagen:dcPnPlg.png


Ejemplo


Calculemos la distancia del punto   
P = \left( \, 2, \, 1, \, 0 \, \right)
  al plano 
\pi 
de ecuación:



x - y - z = 9


Un vector normal al plano 
\pi 
es el vector


\mathbf{n} = \left( \, 1, \, -1, \, -1 \, \right)


Para encontrar un punto 
Q
del plano 
\pi 
damos valores a 
x
y a 
y
en la ecuación del plano 
\pi 
, por ejemplo,   
x = y = 1
,   y despejamos 
z
, lo que nos da una ecuación en 
z
:



1 - 1 - z = 9

cuya solución es:


z = -9


Por lo tanto   
Q = \left( \, 1, \, 1, \, -9 \, \right)
  es un punto del plano 
\pi 
.


La distancia de 
P
a 
\pi 
es


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Distancia de una recta a un plano


Sea 
r
una recta paralela a un plano 
\pi
.


Para calcular la distancia de 
r
a 
\pi 
lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto 
P
en la recta 
r
y calcular la distancia de este punto al plano 
\pi 
.


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, 
r
y 
s
, que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   
\mathbf{u}_r
  y   
\mathbf{u}_s
, y un par de puntos,   
P
  y   
Q
,   en 
r
y en 
s
, respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal a un plano paralelo a 
r
y a 
s
. Esta dirección es la del vector



\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula



\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}
{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


Distancia entre dos planos


Para calcular la distancia entre dos planos paralelos,   
\pi_1 
  y 
\pi_2 
, se coge un punto de   
\pi_1
  y se calcula la distancia de este punto al plano   
\pi_2 
.


   
 
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