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Problemas de distancias

De Wikillerato

Tabla de contenidos

Distancia entre dos puntos


La distancia entre dos puntos   
P = \left( \, x, \, y, \, z \, \right)
  y   
P^\prime = \left( \, x^\prime, \, y^\prime, \, z^\prime \, \right)
  es


\mathrm{d} \left( \, P, \, P^\prime \, \right) = 
\sqrt{
</p>
<pre> \left( \, x - x^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, y - y^\prime \, \right)^2 +
 \left( \, z - z^\prime \, \right)^2 
</pre>
<p>}


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Distancia de un punto a un plano


Sea 
\pi
un plano con vector normal 
\mathbf{n}
y al que pertenece el punto   
Q
.


La distancia de un punto 
P
al plano 
\pi 
es la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal al plano 
\pi
, que se puede calcular mediante la fórmula:


\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ}  \, \right|}{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left|
</p>
<pre>     \, \mathbf{n} \, \right|}}
</pre>
<p>


Imagen:dcPnPlg.png


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Distancia de una recta a un plano


Sea 
r
una recta paralela a un plano 
\pi
.


Para calcular la distancia de 
r
a 
\pi 
lo unico que tenemos que hacer es encontrar un punto 
P
en la recta 
r
y calcular la distancia de este punto al plano 
\pi 
.


Distancia entre dos rectas


Para calcular la distancia entre dos rectas, 
r
y 
s
, que se cruzan se procede de la siguiente manera:

En primer lugar, se encuentran vectores directores de ambas rectas,   
\mathbf{u}_r
  y   
\mathbf{u}_s
, y un par de puntos,   
P
  y   
Q
,   en 
r
y en 
s
, respectivamente.


A continuación, se calcula la longitud de la proyección del vector 
\vec{PQ}
en la dirección normal a un plano paralelo a 
r
y a 
s
. Esta dirección es la del vector



\mathbf{n} = \mathbf{u}_r \times \mathbf{u}_s

La distancia que buscamos la podemos cacular con la formula



\frac{\left| \, \mathbf{n} \cdot \vec{PQ} \, \right|}
{\left| \vec{PQ} \right| \cdot \left| \, \mathbf{n} \, \right|}}


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