Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Procedimiento para factorizar un polinomio

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (08:07 17 may 2011) (editar) (deshacer)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 88.8.157.6 (Talk); a la última edición de Fjmolina)
 
(16 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
<br/>
 
-
 
-
==Procedimiento para factorizar un polinomio==
 
<br/>
<br/>
-
1. Sacamos <math> x </math> factor común, si ello es posible.
+
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
1.
 +
</span> Sacamos <math> x </math> factor común, si ello es posible, y tantas veces
 +
como se pueda.
<br/>
<br/>
-
2. Si el polinomio &nbsp;
+
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
2.
 +
</span> Si el polinomio &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
Línea 63: Línea 67:
<br/>
<br/>
-
Si el polinomio
+
<span
 +
style = 'color:#00aa00'>
 +
3.
 +
</span> Si el polinomio
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 76: Línea 83:
style = 'color:#00aa00'>
style = 'color:#00aa00'>
&bull;
&bull;
-
</span> es de grado mayor que dos
+
</span> es de grado mayor que dos y
<br/>
<br/>
Línea 83: Línea 90:
style = 'color:#00aa00'>
style = 'color:#00aa00'>
&bull;
&bull;
-
</span> sus coeficientes son enteros, y
+
</span> sus coeficientes son enteros,
<br/>
<br/>
-
<span
+
intentamos encontrar las raices reales del polinomio
-
style = 'color:#00aa00'>
+
<math>
-
&bull;
+
\mathrm{P}
-
</span> <math> \frac{a_0}{a_n} </math> es un número entero
+
</math>
 +
entre los números racionales de la forma &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{a}{b}
 +
</math>
 +
&nbsp; donde
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
es un divisor de &nbsp;
 +
<math>
 +
a_n
 +
</math>
 +
&nbsp; y
 +
<math>
 +
b
 +
</math>
 +
es un divisor de &nbsp;
 +
<math>
 +
a_0
 +
</math>,
 +
&nbsp; utilizando para ello la [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]
 +
con cada una de estas fracciones y con el polinomio
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
utilizamos [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]] con los divisores de &nbsp; <math>
+
<center>
-
\frac{a_0}{a_n} </math> y el polinomio &nbsp;
+
<math> \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0 </math> &nbsp; si y solo si &nbsp;<math> x - a </math> &nbsp; es divisor de &nbsp; <math> \mathrm{P} \left( \, x \, \right) </math>.
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado raices &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
+
r_1, r_2, \ldots r_n
-
</math>.
+
</math>
 +
&nbsp; del polinomio
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
</math>,
 +
entonces existe un polinomio
 +
<math>
 +
\mathrm{Q}
 +
</math>
 +
tal que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
 +
\left( \, x - r_2 \, \right) \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_n \, \right)
 +
\cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
<math> \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0 </math> &nbsp; si y solo si &nbsp; <math> x - a </math> &nbsp; es divisor de &nbsp; <math> \mathrm{P} \left( \, x \, \right) </math>.
+
e intentariamos descomponer mas
 +
<math>
 +
\mathrm{P}
 +
</math>
 +
factorizando
 +
<math>
 +
\mathrm{Q}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
===Ejemplo===
<br/>
<br/>
Línea 131: Línea 191:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
2x^3 - 12x^2 + 22x - 12
+
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12
</math>
</math>
</center>
</center>
-
Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos, utilizamos Ruffini para ver
+
Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros,
-
si podemos encontrar alguna de sus raices. Los candidatos a raiz que
+
utilizamos la [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]] con este polinomio y con
-
consideramos son los divisores de &nbsp;
+
las fracciones de la forma &nbsp;
<math>
<math>
-
\frac{-12}{2} = -6
+
\frac{a}{b}
</math>,
</math>,
-
&nbsp; que son &nbsp;
+
&nbsp; donde
<math>
<math>
-
-1, 1, -2, 2, -3, 3, -6, 6
+
a
</math>
</math>
-
 
+
es un divisor de &nbsp;
-
<br/>
+
-
 
+
-
De este modo, se puede obtener que 3 es una raiz de &nbsp;
+
<math>
<math>
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
+
a_0 = -12
-
</math>,
+
</math>
-
&nbsp; es decir,
+
&nbsp; y
-
<center>
+
<math>
<math>
-
\mathrm{P} \left( \, 3 \, \right) = 0
+
b
</math>
</math>
-
</center>
+
es un divisor de &nbsp;
 +
<math>
 +
a_3 = 2
 +
</math>.
 +
&nbsp;
 +
Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
 +
</math>,
 +
&nbsp; es decir, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{Q} \left( \, 3 \, \right) = 0
 +
</math>,
 +
&nbsp;
y que
y que
<center>
<center>
Línea 169: Línea 238:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x^2 - 3x + 2
+
2x^2 - 6x + 4
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 175: Línea 244:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
2x^2 - 6x + 4
+
2x^2 - 6x + 4 = 0
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 187: Línea 256:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \,
+
\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \,
x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right)
x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right)
</math>
</math>

Revisión actual


1. Sacamos  x factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.


2. Si el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es de grado dos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c

resolvemos la ecuación


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones   
r_1
  y   
r_2
,   entonces podemos factorizar   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de la siguiente manera:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
\left( \, x - r_2 \, \right)

Puede ocurrir que   
r_1
  y   
r_2
  coincidan ( sean iguales ).


3. Si el polinomio


\mathrm{P} \left(  \, x \,  \right) =  a_n \cdot x^n  + a_{n-1} \cdot  x^{n-1} +
\ldots + a_1 \cdot x + a_0


es de grado mayor que dos y


sus coeficientes son enteros,


intentamos encontrar las raices reales del polinomio 
\mathrm{P}
entre los números racionales de la forma   
\frac{a}{b}
  donde 
a
es un divisor de   
a_n
  y 
b
es un divisor de   
a_0
,   utilizando para ello la regla de Ruffini con cada una de estas fracciones y con el polinomio 
\mathrm{P}
.


 \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0    si y solo si   x - a    es divisor de    \mathrm{P} \left( \, x   \, \right) .


Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado raices   
r_1, r_2, \ldots r_n
  del polinomio 
\mathrm{P}
, entonces existe un polinomio 
\mathrm{Q}
tal que


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
\left( \,  x - r_2 \,  \right) \cdot \ldots \cdot  \left( \, x -  r_n \, \right)
\cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)


e intentariamos descomponer mas 
\mathrm{P}
factorizando 
\mathrm{Q}
.


Ejemplo


Factorizemos el polinomio:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x

Como se puede sacar un 
x
factor común, eso es lo primero que hacemos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x =
x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)

A continuación factorizamos


\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con las fracciones de la forma   
\frac{a}{b}
,   donde 
a
es un divisor de   
a_0 = -12
  y 
b
es un divisor de   
a_3 = 2
.   Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de   
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)
,   es decir,   
\mathrm{Q} \left( \, 3 \, \right) = 0
,   y que


2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 2x^2 - 6x + 4 \,
</pre>
<p>\right)

Finalmente, factorizamos el polinomio


2x^2 - 6x + 4

resolviendo la ecuación


2x^2 - 6x + 4 = 0

cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que


2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

y, por tanto


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \,
</p>
<pre> x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right)
</pre>
<p>

   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.