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Procedimiento para factorizar un polinomio

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Procedimiento para factorizar un polinomio


1. Sacamos  x factor común, si ello es posible.


2. Si el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es de grado dos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c

resolvemos la ecuación


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones   
r_1
  y   
r_2
,   entonces podemos factorizar   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
  de la siguiente manera:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot
\left( \, x - r_2 \, \right)

Puede ocurrir que   
r_1
  y   
r_2
  coincidan ( sean iguales ).


Si el polinomio


\mathrm{P} \left(  \, x \,  \right) =  a_n \cdot x^n  + a_{n-1} \cdot  x^{n-1} +
\ldots + a_1 \cdot x + a_0


es de grado mayor que dos


sus coeficientes son enteros, y


 \frac{a_0}{a_n} es un número entero


utilizamos la regla de Ruffini con los divisores de   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y el polinomio   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
.


 \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0    si y solo si    x - a    es  divisor de   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].


Ejemplo


Factorizemos el polinomio:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x

Como se puede sacar un 
x
factor común, eso es lo primero que hacemos:


\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x =
x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)

A continuación factorizamos

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos, utilizamos la regla de Ruffini para ver si podemos encontrar alguna de sus raices. Los candidatos a raiz que consideramos son los divisores de   
\frac{-12}{2} = -6
,   que son   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


De este modo, se puede obtener que 3 es una raiz de   
\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
,   es decir,

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

y que


2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot
\left(
</p>
<pre> \, 2x^2 - 6x + 4 \,
</pre>
<p>\right)

Finalmente, factorizamos el polinomio


2x^2 - 6x + 4

resolviendo la ecuación


2x^2 - 6x + 4

cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que


2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

y, por tanto

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

   
 
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