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Rango de una matriz

De Wikillerato

En una matriz



\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
   a_{11 }& a_{12} & \ldots &  a_{1n}
   \\
   a_{21 }& a_{22} & \ldots &  a_{2n}
   \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
   \\
   a_{m1 }& a_{m2} & \ldots &  a_{mn}
 \end{array}
</pre>
<p>\right)


podemos considerar sus filas y sus columnas como vectores.


El  rango  de  una  matriz  es  el número  de  filas  o  de  columnas
linealmente independientes que tieneesa
matriz. 


El rango de una

matriz es, por tanto, siempre menor igual que su numero de filas, y tambien, menor igual que su numero de columnas. Las unicas matrices con rango 0 son las matrices nulas.


El rango de una matriz se puede calcular mediante el método de Gauss o usando menores.


Calculo del rango de una matriz por el método de Gauss


Este metodo consiste en transformar la matriz 
\mathbf{A} 
\right)
  en una matriz triangular superior mediante las siguientes operaciones:


Operaciones elementales con las filas de una matriz


Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:


1. Intercambiar las filas   
F_i
  y   
F_j
.   Esta operación la representaremos así



F_i \longleftrightarrow F_j


2. Multiplicar la fila   
F_i
  por el número   
s \neq 0
  y sustituir   
F_i
  por   
s \cdot F_i
.   Esta operación la representamos de la siguiente forma:



s \cdot F_i \longrightarrow F_i


3. Sumar las filas   
F_i
  y   
F_j
,   multiplicadas por sendos números, 
s
y 
t
, y sustituir   
F_i
  por el resultado de esta suma. Lo representamos así:



s \cdot F_i + t \cdot F_j \longrightarrow F_i


Notese que el segundo tipo de operación,   
s \cdot F_i \longrightarrow F_i
,   es un caso particular de esta última propiedad que se tiene cuando   
t = 0
.


   
 
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