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Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

De Wikillerato

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Línea 1: Línea 1:
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Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus
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Se puede demostrar que dados dos angulos  
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lados.
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<br/>
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<center>
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[[Image:triangulo.gif]]
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</center>
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<br/>
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Estas razones las definimos asociadas a cada uno de sus angulos de la siguiente
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forma:
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El seno de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y la hipotenusa. Su inversa es
+
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la cosecante:
+
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
-
\mathrm{sen} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{hipotenusa}}
+
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</math>
+
-
</center>
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
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\mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto opuesto}}
+
-
</math>
+
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</center>
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<br/>
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El coseno de un ángulo, es la razon entre su cateto contiguo y la hipotenusa. Su inversa
+
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es la secante:
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
-
\cos \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{hipotenusa}}
+
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</math>
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</center>
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<center>
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<math>
+
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\sec \alpha = \frac{\makebox{hipotenusa}}{\makebox{cateto contiguo}}
+
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</math>
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</center>
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<br/>
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La tangente de un ángulo, es la razon entre su cateto opuesto y su cateto contiguo. Su
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inversa es la contangente:
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<center>
+
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<math>
+
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\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto opuesto}}{\makebox{cateto contiguo}}
+
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</math>
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</center>
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<br/>
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<center>
+
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<math>
+
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\mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{\makebox{cateto contiguo}}{\makebox{cateto opuesto}}
+
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</math>
+
-
</center>
+
-
 
+
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<br/>
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-
 
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-
Para el estudio de las razones trigonometricas se suele considerar el angulo &nbsp;
+
<math>
<math>
\alpha
\alpha
</math>
</math>
-
&nbsp; que forma el eje &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
X
+
\beta
</math>
</math>
-
&nbsp; con el radio de una circunferencia de radio &nbsp;
+
, el seno de su suma viene dado por la formula:
-
<math>
+
-
1
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y centrada en el origen de coordenadas. A esta circunferencia se le llama
+
-
circunferencia goniometrica.
+
<br/>
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<center>
 
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[[Image:circulo.gif]]
 
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</center>
 
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En este caso
 
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<br/>
 
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<math>
 
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\mathrm{sen} \, \alpha = y \qquad \mathrm{cosec} \, \alpha = \frac{1}{y} \qquad
 
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</math>
 
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</center>
 
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<center>
 
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<math>
 
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\cos \alpha = x \qquad \sec \alpha = \frac{1}{x}
 
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</math>
 
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</center>
 
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<br/>
 
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<center>
 
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<math>
 
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\mathrm{tg} \, \alpha = \frac{y}{x} \qquad \mathrm{cotg} \, \alpha = \frac{x}{y}
 
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</math>
 
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</center>
 
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<br/>
 
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-
El angulo &nbsp;
 
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<math>
 
-
\alpha
 
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</math>
 
-
&nbsp; aumenta sii movemos el punto &nbsp;
 
-
<math>
 
-
P
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en la circunferencia de manera que el radio &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\overline{OP}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; gire en sentido contrario al de las las agujas del reloj.
 
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<br/>
 
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Si &nbsp;
 
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<math>
 
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P
 
-
</math>
 
-
&nbsp; esta a la derecha del eje &nbsp;
 
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<math>
 
-
Y,
 
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</math>
 
-
&nbsp; entonces &nbsp;
 
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<math>
 
-
x > 0.
 
-
</math>
 
-
&nbsp; En caso contrario, se tiene que &nbsp;
 
-
<math>
 
-
x < 0.
 
-
</math>
 
-
&nbsp; Si &nbsp;
 
-
<math>
 
-
P
 
-
</math>
 
-
&nbsp; esta por encima del eje &nbsp;
 
-
<math>
 
-
X,
 
-
</math>
 
-
&nbsp; entonces &nbsp;
 
-
<math>
 
-
y > 0.
 
-
</math>
 
-
&nbsp; En caso contrario, se tiene que &nbsp;
 
-
<math>
 
-
y < 0.
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Los ejes de coordenadas dividen la circunferencia goniometrica en cuatro cuadrantes. El
 
-
signo de las razones de un angulo &nbsp;
 
-
<math>
 
-
\alpha
 
-
</math>
 
-
&nbsp; depende de en que cuadrante este situado &nbsp;
 
-
<math>
 
-
P
 
-
</math>
 
-
. Todas las posibilidades estan recogidas en la tabla siguiente:
 
-
 
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<br/>
 
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<center>
 
-
[[Image:tabla.gif]]
 
-
</center>
 
-
 
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%% }}}
 
-
%% {{{ =suma y diferencia de angulos
 
<center>
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Línea 281: Línea 93:
</math>
</math>
</center>
</center>
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<br/>
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El coseno de la suma de los angulos &nbsp;
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<math>
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\alpha
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</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
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\beta
 +
</math>
 +
&nbsp; viene dado por la formula:
<br/>
<br/>
Línea 369: Línea 193:
<br/>
<br/>
 +
La segunda igualdad es cierta por las relaciones entre las razones trigonometricas de
 +
&nbsp;
 +
<math>
 +
\alpha
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</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
-\alpha
 +
</math>:
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
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\mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, -\alpha \,
 +
\right)
 +
\, = \, \mathrm{cos}
 +
\left(
 +
\, \alpha \,
 +
\right)
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</math>
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<br/>
 +
 +
<math>
 +
\mathrm{sen}
 +
\left(
 +
\, -\alpha \,
 +
\right)
 +
\, = \, -\mathrm{sen}
 +
\left(
 +
\, \alpha \,
 +
\right)
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</math>
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</center>
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<br/>
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Si te preguntas porque esto es así, puedes encontrar la respeusta en [[Reducción de las razones trigonometricas]].
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<br/>
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Se puede demostrar que dados dos angulos   \alpha   y   \beta , el seno de su suma viene dado por la formula:


\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, + \beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, + \, </pre> <p>\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right)


Si en la formula anterior sustituimos   \beta   por   -\beta   obtenemos:


\mathrm{sen} \left( \, \alpha \, - \beta \, \right) </p> <pre>\, = \, \mathrm{sen} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, -\beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, + \, </pre> <p>\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, -\beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, \, \mathrm{sen} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, - \, </pre> <p>\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right)


El coseno de la suma de los angulos   \alpha   y   \beta   viene dado por la formula:


\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \alpha \, + \beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, - \, </pre> <p>\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right)


Si en la formula anterior sustituimos   \beta   por   -\beta   obtenemos:


\mathrm{cos} \left( \, \alpha \, - \beta \, \right) </p> <pre>\, = \, \mathrm{cos} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, -\beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, - \, </pre> <p>\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, -\beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, \, \mathrm{cos} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, + \, </pre> <p>\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, \beta \, </pre> <p>\right)


La segunda igualdad es cierta por las relaciones entre las razones trigonometricas de   \alpha   y   -\alpha :


\mathrm{cos} \left( </p> <pre> \, -\alpha \, \right) \, = \, \mathrm{cos} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right)


\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \, -\alpha \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} </pre> <p>\left( </p> <pre> \, \alpha \, </pre> <p>\right)


Si te preguntas porque esto es así, puedes encontrar la respeusta en Reducción de las razones trigonometricas.


Obtenido de "http://wikillerato.org/Razones_trigonom%C3%A9tricas_de_la_suma_y_diferencia_de_%C3%A1ngulos.html"
   
 
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