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Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

De Wikillerato

Se puede demostrar que dados dos angulos   
\alpha
  y   
\beta
, el seno de su suma viene dado por la formula:



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \beta \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, + \,        
</pre>
<p>\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)


Si en la formula anterior sustituimos   
\beta
  por   
-\beta
  obtenemos:



\mathrm{sen}
\left(
\, \alpha \, - \beta \,
\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, -\beta \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, + \,        
</pre>
<p>\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, -\beta \, 
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \, \mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, - \,        
</pre>
<p>\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)


El coseno de la suma de los angulos   
\alpha
  y   
\beta
  viene dado por la formula:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, + \beta \,
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, - \,        
</pre>
<p>\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)


Si en la formula anterior sustituimos   
\beta
  por   
-\beta
  obtenemos:



\mathrm{cos}
\left(
\, \alpha \, - \beta \,
\right)
</p>
<pre>\, = \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, -\beta \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, - \,        
</pre>
<p>\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, -\beta \, 
</pre>
<p>\right)
</p>
<pre>\, = \, \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot \mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)  
</p>
<pre>\, + \,        
</pre>
<p>\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \alpha \, 
</pre>
<p>\right)   
\cdot  \mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, \beta \, 
</pre>
<p>\right)


La segunda igualdad es cierta por las relaciones entre las razones trigonometricas de   
\alpha
  y   
-\alpha
:



\mathrm{cos}
\left(
</p>
<pre>  \, -\alpha \,
\right)
\, = \, \mathrm{cos}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)



\mathrm{sen}
\left(
</p>
<pre>  \, -\alpha \,
\right)
\, = \, -\mathrm{sen}
</pre>
<p>\left(
</p>
<pre> \, \alpha \,
</pre>
<p>\right)


Si te preguntas porque esto es así, la respuesta la tienes en esta sección.


   
 
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