Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

Regla de Cramer

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (08:10 14 nov 2011) (editar) (deshacer)
m (Revertidas las ediciones realizadas por 190.87.108.217 (Talk); a la última edición de Luismiglesias)
 
(24 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
Esta regla es un metodo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
+
[[Imagen:cramer2.gif|thumbnail|Gabriel Cramer (1704-1752)]]
-
utilizar cuando la matriz  
+
 
 +
Gabriel Cramer nació en Ginebra (Suiza) en 1704 y murió en 1752. A él le debemos la regla que lleva el nombre de este matemático suizo.
 +
 
 +
Dicha regla, es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz,  
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales es cuadrada
+
&nbsp; , de coeficientes del sistema, es cuadrada y tiene determinante no nulo. El hecho de que la matriz &nbsp;
-
y de determinante no nulo. El que &nbsp;
+
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones
+
&nbsp; sea cuadrada significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones del sistema coinciden.
-
coincide. Cuando el sistema de ecuaciones
+
<br/>
<br/>
-
 
+
Cuando el sistema de ecuaciones:
 +
<br/>
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 31: Línea 33:
<br/>
<br/>
-
 
+
satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:
-
satisface esas condiciones, su solución viene dada por:
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 53: Línea 51:
}
}
{|A|}
{|A|}
-
, \qquad x_2 \, = \, \frac
+
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
{
\left|
\left|
Línea 67: Línea 65:
\right|
\right|
}
}
-
{|A|}
+
{|A|}, \qquad \qquad \ldots \ldots
-
 
+
</math>
</math>
</center>
</center>
-
 
-
<br/>
 
-
 
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\ldots \ldots \qquad x_n \, = \, \frac
+
\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
{
\left|
\left|
Línea 91: Línea 85:
}
}
{|A|}
{|A|}
 +
\qquad \qquad
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 96: Línea 91:
<br/>
<br/>
-
En general
+
En general:
<br/>
<br/>
Línea 112: Línea 107:
A_i
A_i
</math>
</math>
-
&nbsp; es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de &nbsp;
+
&nbsp; es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-ésima columna de &nbsp;
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; por [[Sistema de ecuaciones lineales|matriz de los terminos independientes]], &nbsp;
+
&nbsp; por la [[Sistemas de ecuaciones lineales|matriz de los terminos independientes]], &nbsp;
<math>
<math>
B
B
Línea 145: Línea 140:
<br/>
<br/>
-
En este sistema de ecuaciones lineales la matriz &nbsp;
+
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz &nbsp;
<math>
<math>
A
A
Línea 161: Línea 156:
\, = \, -2 \neq 0
\, = \, -2 \neq 0
</math>
</math>
-
. Por lo tanto podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
+
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
<br/>
<br/>
Línea 178: Línea 173:
}
}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
-
\qquad y \, = \, \frac
+
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
{
\left|
\left|
Línea 193: Línea 188:
<br/>
<br/>
 +
 +
<h2>Enlaces externos</h2>
 +
[http://www.vadenumeros.es/actividades/sistemas-regla-de-cramer.htm Calculadora online que permite resolver sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer]
 +
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Gabriel Cramer (1704-1752)
Gabriel Cramer (1704-1752)

Gabriel Cramer nació en Ginebra (Suiza) en 1704 y murió en 1752. A él le debemos la regla que lleva el nombre de este matemático suizo.

Dicha regla, es un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz,   
A
  , de coeficientes del sistema, es cuadrada y tiene determinante no nulo. El hecho de que la matriz   
A
  sea cuadrada significa que el número de incógnitas y el número de ecuaciones del sistema coinciden.


Cuando el sistema de ecuaciones:


\left.
</p>
<pre> \begin{array}{c}
   a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
   \\
   a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
   \\
   \dotfill
   \\
   a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}


satisface las condiciones arriba mencionadas, su solución viene dada por:


x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
     \\
     b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
     \\
     a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}, \qquad \qquad \ldots \ldots


\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
     \\
     a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}
\qquad \qquad


En general:



x_i \, = \, \frac{|A_i|}{|A|}


donde   
A_i
  es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-ésima columna de   
A
  por la matriz de los terminos independientes,   
B
 .


Ejemplo


Consideremos el sistema de ecuaciones:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x \, + \, y \, = \, 2
   \\
   x \, - \, y \, = \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz   
A
  de los coeficientes es una matriz cuadrada y   
|A| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & ~~1
   \\
   1 & -1
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p> . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:



x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cc}
     2 & ~~1
     \\
     0 & -1
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cc}
     1 & 2
     \\
     1 & 0
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1


Enlaces externos

Calculadora online que permite resolver sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer

   
 
ASIGNATURAS
MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.