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Regla de Cramer

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regla que lleva su nombre. ¡Gracias Cramer por tu contribución a las Matemáticas!]]
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él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Cramer por tu contribución a las Matemáticas!]]
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Esta regla es un metodo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
Esta regla es un metodo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
utilizar cuando la matriz &nbsp;
utilizar cuando la matriz &nbsp;

Revisión de 00:42 29 dic 2006

Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Cramer por tu contribución a las Matemáticas!
Gabriel Cramer nacio Ginebra ( Suiza ) 1704 y murio en 1752. A él le debemos la regla que lleva su nombre. ¡Gracias Cramer por tu contribución a las Matemáticas!


Esta regla es un metodo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede utilizar cuando la matriz   
A
  de coeficientes del sistema es cuadrada y de determinante no nulo. El que   
A
  sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones coincide.


Cuando el sistema de ecuaciones



\left.
</p>
<pre> \begin{array}{c}
   a_{11} \cdot x_1 + a_{12} \cdot x_2 + \ldots a_{1n} \cdot x_n = b_1
   \\
   a_{21} \cdot x_1 + a_{22} \cdot x_2 + \ldots a_{2n} \cdot x_n = b_2
   \\
   \dotfill
   \\
   a_{m1} \cdot x_1 + a_{m2} \cdot x_2 + \ldots a_{mn} \cdot x_n = b_m
 \end{array}
</pre>
<p>\right\}


satisface esas condiciones, su solución viene dada por:



x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
     \\
     b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
     \\
     a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}, \qquad \qquad \ldots \ldots



\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cccc}
     a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
     \\
     a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
     \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
     \\
     a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}
\qquad \qquad


En general



x_i \, = \, \frac{|A_i|}{|A|}


donde   
A_i
  es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de   
A
  por la matriz de los terminos independientes,   
B
 .


Ejemplo


Consideremos el sistema de ecuaciones:



\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
   x \, + \, y \, = \, 2
   \\
   x \, - \, y \, = \, 0
 \end{array}
</pre>
<p>\right.


En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz   
A
  de los coeficientes es una matriz cuadrada y   
|A| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
   1 & ~~1
   \\
   1 & -1
 \end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p> . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:



x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cc}
     2 & ~~1
     \\
     0 & -1
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
   \begin{array}[c]{cc}
     1 & 2
     \\
     1 & 0
   \end{array}
 \right|
</pre>
<p>}
{|A|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1


   
 
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