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Regla de Cramer
De Wikillerato
Esta regla es un metodo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales que se puede
utilizar cuando la matriz
de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales es cuadrada
y de determinante no nulo. El que
sea cuadrada significa que el numero de incognitas y el numero de ecuaciones
coincide.
Cuando el sistema de ecuaciones
satisface esas condiciones, su solución viene dada por:
![x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}, \qquad \qquad \ldots \ldots](/images/math/math-150b5190ce0e6220c11001b683e002fd.png "x_1 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
b_m & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}
, \qquad \qquad x_2 \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & b_m & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}, \qquad \qquad \ldots \ldots")
![\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}](/images/math/math-d98f027b0fbef3a275e17f38d915d14b.png "\ldots \ldots, \qquad \qquad x_n \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1
\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & b_m
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}")
En general
donde
es la matriz que se obtiene sustituyendo la i-esima columna de
por matriz de los terminos independientes,
.
Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones:
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, = \, 2
\\
x \, - \, y \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-9d7fa2a713677bcaf5cea62fe4a5126f.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{rcl}
x \, + \, y \, = \, 2
\\
x \, - \, y \, = \, 0
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
En este sistema de ecuaciones lineales, la matriz
de los coeficientes es una matriz cuadrada y
![|A| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & ~~1
\\
1 & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p>](/images/math/math-789a2f66f5ebae882988c2ace0979a33.png "|A| \, = \,
\left|
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cc}
1 & ~~1
\\
1 & -1
\end{array}
</pre>
<p>\right|
</p>
<pre>\, = \, -2 \neq 0
</pre>
<p>")
. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer para resolverlo:
![x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
2 & ~~1
\\
0 & -1
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
1 & 0
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1](/images/math/math-8aa774c9773439ba43602bf548f68568.png "x \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
2 & ~~1
\\
0 & -1
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|} \, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1
\qquad \qquad y \, = \, \frac
{
</p>
<pre> \left|
\begin{array}[c]{cc}
1 & 2
\\
1 & 0
\end{array}
\right|
</pre>
<p>}
{|A|}\, = \, \frac{-2}{-2} \, = \, 1")
