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Teorema de Bayes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 59: Línea 59:
\cdot \mathrm{P}
\cdot \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A_1 \, \right)
+
\, B \, \left| \, A_1 \, \right.
\right)
\right)
\, + \,
\, + \,
Línea 68: Línea 68:
\cdot \mathrm{P}
\cdot \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A_2 \, \right)
+
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 +
\right)
\, + \, \ldots \, + \,
\, + \, \ldots \, + \,
\mathrm{P}
\mathrm{P}
Línea 76: Línea 77:
\cdot \mathrm{P}
\cdot \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A_n \, \right)
+
\, B \, \left| \, A_n \, \right.
\right)
\right)
}
}
Línea 188: Línea 189:
\left(
\left(
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 +
\right)
\, + \, \ldots \, + \,
\, + \, \ldots \, + \,
\mathrm{P}
\mathrm{P}
Línea 210: Línea 212:
<br/>
<br/>
-
Tenemos tres urna: &nbsp;
+
Tenemos tres urnas: &nbsp;
<math>
<math>
U_1
U_1
</math>
</math>
-
&nbsp; con tres bolas rojas y 5 negras, &nbsp;
+
&nbsp; con tres bolas rojas y cinco negras, &nbsp;
<math>
<math>
U_2
U_2
Línea 292: Línea 294:
\right)
\right)
}
}
-
\, = \,
+
\, = \, \frac
 +
{
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
 +
}
 +
{
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
 +
\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
 +
}
 +
 
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión de 19:37 26 dic 2006

Tabla de contenidos


Enunciado


Sean   
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, 
  sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea   
B
  un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
.


Entonces las probabilidades   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
  vienen dadas por la expresión:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}


Demostración


Por definición de probabilidad condicionada



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \cap \, B \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)


despejando   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
, se tiene:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, B \,
 \right)
</pre>
<p>}


La probabilidad   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a



</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urnas:   
U_1
  con tres bolas rojas y cinco negras,   
U_2
  con dos bolas rojas y una negra y   
U_3
  con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   
U_1
?


Llamamos   
R
  al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


   
 
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