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Teorema de Bayes

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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</math>
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 +
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<br/>
 +
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<center>
<math>
<math>
Línea 296: Línea 299:
\cdot \mathrm{P}
\cdot \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, R \, \left| \, U_3 \, \right.
+
\, R \, \left| \, U_3 \, \c2.
\right)
\right)
}
}
 +
}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
<center>
 +
<math>
\, = \, \frac
\, = \, \frac
{
{

Revisión de 19:40 26 dic 2006

Tabla de contenidos


Enunciado


Sean   
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \, 
  sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea   
B
  un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
.


Entonces las probabilidades   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
  vienen dadas por la expresión:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}


Demostración


Por definición de probabilidad condicionada



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \cap \, B \,
</pre>
<p>\right)
\, = \, 
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
\cdot \mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)


despejando   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
, se tiene:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_i \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_i \, \right.
 \right)
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, B \,
 \right)
</pre>
<p>}


La probabilidad   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, B \,
</pre>
<p>\right)
, por el teorema de la probabilidad total, es igual a



</p>
<pre> \mathrm{P}
 \left(
   \, A_1 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
 \right)
 \, + \,
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_2 \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
 \right)
 \, + \, \ldots \, + \, 
 \mathrm{P}
 \left(
   \, A_n \,
 \right)
 \cdot \mathrm{P}
 \left(
   \, B \, \left| \, A_n \, \right.
 \right)
</pre>
<p>


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urnas:   
U_1
  con tres bolas rojas y cinco negras,   
U_2
  con dos bolas rojas y una negra y   
U_3
  con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   
U_1
?


Llamamos   
R
  al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   
\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:



\mathrm{P}
\left(
</p>
<pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
</pre>
<p>\right)
\, = \,


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]



\, = \, \frac
{
</p>
<pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
</pre>
<p>}
{
</p>
<pre> \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
 \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
</pre>
<p>}


   
 
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