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Teorema de Bayes

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(Diferencias entre revisiones)
Línea 9: Línea 9:
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,
A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,
</math>
</math>
-
&nbsp; sucesos incompatibles, tales que siempre ocurre uno de ellos y la probabilidad de
+
&nbsp; sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos y la
-
cada uno de ellos es distinta de cero, y sea &nbsp;
+
probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea &nbsp;
<math>
<math>
B
B
Línea 18: Línea 18:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
+
\, B \, \left| \, A_i \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 29: Línea 29:
\mathrm{P}
\mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B\, \left| \, A_i \, \right.
+
\, A_i \, \left| \, B \, \right.
\right)
\right)
</math>
</math>
Línea 69: Línea 69:
\cdot \mathrm{P}
\cdot \mathrm{P}
\left(
\left(
-
\, B \, \left| \, A_2 \, \rightl1ight)
+
\, B \, \left| \, A_2 \, \right.
\, + \, \ldots \, + \,
\, + \, \ldots \, + \,
\mathrm{P}
\mathrm{P}

Revisión de 19:21 26 dic 2006

Tabla de contenidos

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Enunciado


Sean   A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,   sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos y la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea   B   un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> <p>\right) .


Entonces las probabilidades   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right)   vienen dadas por la expresión:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Demostración


Por definición de probabilidad condicionada


\mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \cap \, B \, </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, \left| \, A_i \, \right. </pre> <p>\right) \, = \, \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) \cdot \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, A_i \, \left| \, B \, \right. </pre> <p>\right)


despejando   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] , se tiene:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


La probabilidad   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, B \, </pre> <p>\right) , por el teorema de la probabilidad total, es igual a


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.


Ejemplo


Tenemos tres urna:   U_1   con tres bolas rojas y 5 negras,   U_2   con dos bolas rojas y una negra y   U_3   con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   U_1 ?


Llamamos   R   al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   \mathrm{P} \left( </p> <pre> \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. </pre> <p>\right) . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:


[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]


Obtenido de "https://wikillerato.org/Teorema_de_Bayes.html"
   
 
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