Dependencia e independencia lineal

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Una combinación lineal de los vectores $\vec{\mathbf{v}}_1 \, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n$ , es una suma de la forma:

$\alpha_1 \cdot \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \cdot \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \cdot \vec{\mathbf{v}}_n$

siendo los coeficientes $\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots, \, \alpha_n$ numeros reales.

Ejemplo:

Dados los vectores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ , una combinación lineal de ellos es el vector $3\vec{\mathbf{u}} \, + \, 2\vec{\mathbf{v}}$

Los vectores $\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n$ son linealmente independientes si:

$\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0 \, \Rightarrow \, \alpha_1 \, = \, \alpha_2 \, = \, \ldots \, = \, \alpha_n \, = \, \ldots \, = \, 0$

Ejemplo:

Los vectores $\vec{\mathbf{u}} \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 0, \, 1 \, </pre> \right) , \, \vec{\mathbf{v}} \, = \, \left( <pre> \, 0, \, 1, \, 0 \, </pre> \right)$ y $\vec{\mathbf{w}} \, = \, \left( <pre> \, 0, \, 0, \, 1 \, </pre> \right)$ son linealmente independientes, pues:

$\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \, \gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow$ $\left( <pre> \, \alpha, \, 0, \, \alpha \, </pre> \right) \, + \, \left( <pre> \, 0, \, \beta, \, 0 \, </pre> \right) \, + \, \left( <pre> \, 0, \, 0, \, \gamma \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \, \alpha, \, \beta, \, \alpha \, + \, \gamma \, </pre> \right) \, = \,$

$\, = \, \left( <pre> \, 0, \, 0, \, 0 \, </pre> \right) \, \Rightarrow \, \alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0$

Los vectores $\vec{\mathbf{v}}_1, \, \vec{\mathbf{v}}_2, \, \ldots, \, \vec{\mathbf{v}}_n$ son linealmente independientes si existen escalares $\alpha_1, \, \alpha_2, \, \ldots \, , \, \alpha_n$ no todos nulos tales que:

$\alpha_1 \vec{\mathbf{v}}_1 \, + \, \alpha_2 \vec{\mathbf{v}}_2 \, + \, \ldots \, + \, \alpha_n \vec{\mathbf{v}}_n \, = \, 0$

Ejemplo:

Los vectores $\vec{\mathbf{u}} \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 0, \, 1 \, </pre> \right) , \, \vec{\mathbf{v}} \, = \, \left( <pre> \, -1, \, 1, \, 0 \, </pre> \right)$ y $\vec{\mathbf{w}} \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 1, \, 2 \, </pre> \right)$ son linealmente dependientes, pues:

$\alpha \vec{\mathbf{u}} \, + \, \beta \vec{\mathbf{v}} \, + \, \ldots \, + \, \gamma \vec{\mathbf{w}} \, = \, 0 \, \Rightarrow$

$\left( <pre> \, \alpha \, - \, \beta \, + \, \gamma, \, \beta \, + \, \gamma, \, \alpha \, + \, 2\gamma \, </pre> \right) \, = \, \left( <pre> \, 0, \, 0, \, 0 \, </pre> \right) <pre>\, \Rightarrow </pre> \alpha \, = \, \beta \, = \, \gamma \, = \, 0$

Igualando componentes:

$\left. <pre> \begin{array}[c]{rcl} \alpha\, - \, \beta \, + \, \gamma & = & 0 \\ \beta \, + \, \gamma & = & 0 \\ \alpha \, + \, 2\gamma & = & 0 \end{array} </pre> \right\} <pre>\, \Rightarrow \beta \, = \, -\gamma, \, \alpha \, = \, -2\gamma </pre> $

Para cualquier valor que tome $\gamma \neq 0$ se obtiene un valor para $\beta$ y otro para $\alpha$ tambien distintos de cero, luego $\vec{\mathbf{u}}$ , $\vec{\mathbf{v}}$ y $\vec{\mathbf{w}}$ son linealmente dependientes.

En $R^2$ , dos vectores $u \, = \, \left( <pre> \, u_1, \, u_2 \, </pre> \right)$ y $v \, = \, \left( <pre> \, v_1, \, v_2 \, </pre> \right)$ son:

linealmente independientes si:	linealmente dependientes si:

En $R^3$ , tres vectores $u \, = \, \left( <pre> \, u_1, \, u_2, \, u_3 \, </pre> \right)$ , $v \, = \, \left( <pre> \, v_1, \, v_2, \, v_3 \, </pre> \right)$ y $v \, = \, \left( <pre> \, w_1, \, w_2, \, w_3 \, </pre> \right)$ son: